被积函数中的根式中没有平方项不能用三角代换怎么办：整体代换

一、题目

$$I={\int }_{-1}^0\frac{\ln (1+x)}{\sqrt[3]{1+x}}\mathrm{d}x=?$$

难度评级：

二、解析

令：

$$t=\sqrt[3]{1+x}$$

于是：

$$t^3=1+x,x=t^3-1$$

$$\mathrm{d}x=3t^2\mathrm{d}t,\ln (1+x)=\ln \left(t^3\right)$$

$$x\in (-1,0)\Rightarrow \mathrm{d}t\in (0,1)$$

于是：

$$I={\int }_0^1\frac{\ln \left(t^3\right)}{t}3t^2\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$I=3{\int }_0^{1}t\ln \left(t^3\right)\mathrm{d}t=$$

吸收合并，为分部积分做准备：

$$\frac{3}{2}{\int }_0^1\ln \left(t^3\right)\mathrm{d}\left(t^2\right)=$$

分部积分：

$${\frac{3}{2}{t}^2\ln \left(t^3\right)|}_0^1-\frac{3}{2}{\int }_0^1{t}^2\cdot \frac{3t^2}{t^3}\mathrm{d}t=$$

由于指数函数 $t^2$ 的增长率远大于对数函数 $\ln (t^3)$, 因此，当 $t\to 0$ 时，$t^2$ 是 $\ln (t^3)$ 的高阶无穷小，即 $\underset{x\to 0}{lim}{t}^2\ln (t^3)=0$:

$$\frac{2}{3}\cdot 0-\frac{9}{2}{\int }_0^{1}t\mathrm{d}t=-\frac{9}{2}\cdot \frac{1}{2}=-\frac{9}{4}$$

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