被积函数中的根式中没有平方项不能用三角代换怎么办：整体代换

一、题目

$$
I=\int_{-1}^{0} \frac{\ln (1+x)}{\sqrt[3]{1+x}} \mathrm{~d} x = ?
$$

难度评级：

二、解析

令：

$$
\textcolor{springgreen}{
t=\sqrt[3]{1+x}
}
$$

于是：

$$
t^{3}=1+x, \ x=t^{3}-1
$$

$$
\mathrm{~ d} x=3 t^{2} \mathrm{~ d} t, \quad \ln (1+x)=\ln \left(t^{3}\right)
$$

$$
x \in(-1,0) \Rightarrow \mathrm{~ d} t \in(0,1)
$$

于是：

$$
I=\int_{0}^{1} \frac{\ln \left(t^{3}\right)}{t} 3 t^{2} \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$

$$
I=3 \int_{0}^{1} t \ln \left(t^{3}\right) \mathrm{~ d} t=
$$

吸收合并，为分部积分做准备：

$$
\frac{3}{2} \int_{0}^{1} \ln \left(t^{3}\right) \mathrm{~ d} \left(t^{2}\right) =
$$

分部积分：

$$
\left.\frac{3}{2} t^{2} \ln \left(t^{3}\right)\right|_{0} ^{1}-\frac{3}{2} \int_{0}^{1} t^{2} \cdot \frac{3 t^{2}}{t^{3}} \mathrm{~ d} t =
$$

由于指数函数 $t^{2}$ 的增长率远大于对数函数 $\ln (t^{3})$, 因此，当 $t \rightarrow 0$ 时，$t^{2}$ 是 $\ln (t^{3})$ 的高阶无穷小，即 $\lim_{x \rightarrow 0} t^{2} \ln (t^{3}) = 0$:

$$
\frac{2}{3} \cdot 0-\frac{9}{2} \int_{0}^{1} t \mathrm{~ d} t=-\frac{9}{2} \cdot \frac{1}{2}=-\frac{9}{4}
$$

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