这个无穷阶导数的规律你会找吗？

一、题目

设 $f(x)=\frac{4x-3}{2x^2-3x-2}$, 则 $f^{(n)}(x)=?$

难度评级：

二、解析

首先，由十字相乘法可知：

$$2x^2-3x-2\Rightarrow (x-2)(2x+1)$$

于是：

$$f(x)=\frac{4x-3}{2x^2-3x-2}\Rightarrow$$

由配方法可得：

$$f(x)=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{2x+1}\Rightarrow$$

$$\{\begin{array}{l}2A+B=4\\ A-2B=3\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}A=1\\ B=2\end{array}$$

一阶导为：

$$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x-2}+\frac{2}{2x+1}\Rightarrow$$

$$f^{\prime }(x)=\frac{-1}{(x-2{)}^2}+\frac{-4}{(2x+1{)}^2}\Rightarrow$$

二阶导为：

$$f^{\prime \prime }(x)=\frac{2(x-2)}{(x-2{)}^4}+\frac{8\times 2(2x+1)}{(2x+1{)}^4}\Rightarrow$$

$$f^{\prime \prime }(x)=\frac{2}{(x-2{)}^3}+\frac{16}{(2x+1{)}^3}$$

三阶导为：

$$f^{\prime \prime \prime }(x)=\frac{-2\times 3(x-2{)}^2}{(x-2{)}^6}+\frac{-16\times 3\times 2(2x+1{)}^2}{(2x+1{)}^6}\Rightarrow$$

$$f^{\prime \prime \prime }(x)=\frac{-2\times 3}{(x-2{)}^4}+\frac{-16\times 2\times 3}{(2x+1{)}^4}\Rightarrow$$

于是，可推知 $n$ 阶导为：

$$f^{(n)}(x)=\frac{(-1{)}^n\cdot n!}{(x-2{)}^{n+1}}+\frac{-(-2{)}^{n+1}\cdot n!}{(2x+1{)}^{n+1}}$$

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