给定一个无穷大量，怎么转为无穷小量？

一、题目

已知 $a,b$ 为常数，且 $lim(\sqrt[3]{1-x^6}-a{x}^2-b)=0$, 则 $a=?$, $b=?$

难度评级：

二、解析

在书写计算时，注意不要把字母 “$b$” 和数字 “$6$” 写得太相似了。

解法一：直接按照无穷大量计算

已知：

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(\sqrt[3]{1-x^6}-a{x}^2-b)=0\Rightarrow$$

当 $x\to \mathrm{\infty }$ 时：

$$\sqrt[3]{1-x^6}-a{x}^2=b\Rightarrow \sqrt[3]{-x^6}-a{x}^2=b\Rightarrow$$

$$-x^2-a{x}^2=b\Rightarrow$$

$$\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=0\end{array}$$

解法二：转为无穷小量计算

当 $x\to \mathrm{\infty }$ 时：

$$\sqrt[3]{1-x^6}-a{x}^2=b\Rightarrow \sqrt[3]{x^6(\frac{1}{x^6}-1)}-a{x}^2=b\Rightarrow$$

$$\sqrt[3]{-x^6(1-\frac{1}{x^6})}-a{x}^2=b\Rightarrow$$

$$-x^2{[1-\frac{1}{x^6}]}^{\frac{1}{3}}-a{x}^2=b\Rightarrow$$

$$-x^2[{(1-\frac{1}{x^6})}^{\frac{1}{3}}+a]=b\Rightarrow$$

又：

$$x\to 0\Rightarrow (1+x{)}^a-1\sim ax\Rightarrow$$

$$x\to 0\Rightarrow (1+x{)}^a\sim 1+ax\Rightarrow$$

因此：

$$-x^2[{(1-\frac{1}{x^6})}^{\frac{1}{3}}+a]=b\Rightarrow$$

$$-x^2[\frac{1}{3}\cdot \frac{-1}{x^6}+1+a]=b\Rightarrow$$

$$\{\begin{array}{l}1+a=0\\ b=0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=-1\\ b=0\end{array}$$

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