在改变量无穷小的情况下，函数的增量除以自变量的增量就等于一点处的导数

一、题目

已知，$y=y(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 可导，在 $\forall x \in(0,+\infty)$ 处的增量 $\Delta y=y(x+\Delta x)-y(x)$ 满 足 $\Delta y(1+\Delta y)=\frac{y \Delta x}{1+x}+\alpha$, 其中 $\alpha$ 当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时是与 $\Delta x$ 等价的无穷小。又 $y(0)=1$, 则 $y(x)=?$

难度评级：

二、解析

$$
\because \quad \lim \limits_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim \limits_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{y(x+\Delta x)-y(x)}{\Delta x}=y^{\prime}(x)
$$

$$
\therefore \quad \Delta y(1+\Delta y)=\frac{y \Delta x}{1+x}+2 \Rightarrow
$$

$$
\frac{\Delta y(1+\Delta y)}{\Delta x}=\frac{y}{1+x}+\lim \limits_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{2}{\Delta x} \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{\Delta x \rightarrow 0}(1+\Delta y)=1 \Rightarrow
$$

$$
\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y}{1+x}+1 \Rightarrow
$$

$$
y^{\prime}=\frac{y}{1+x}+1 \Rightarrow
$$

$$
y^{\prime}+\frac{-1}{1+x} y=1 \Rightarrow
$$

$$
y(x)=\left[\int 1 \cdot e^{\int \frac{-1}{1+x} \mathrm{~ d} x} \mathrm{~ d} x + C \right] \cdot e^{\int \frac{1}{1+x} \mathrm{~ d} x} \Rightarrow
$$

$$
\int \frac{1}{1+x} \mathrm{~ d} x=\ln (1+x) .
$$

$$
\int \frac{-1}{1+x} \mathrm{~ d} x=-\ln (1+x) \Rightarrow
$$

$$
y(x)=\left[\int e^{\ln \frac{1}{1+x}} \mathrm{~ d} x+C\right] e^{\ln (1+x)} \Rightarrow
$$

$$
y(x)=\int \frac{1}{1+x} \mathrm{~ d} x+C \Rightarrow
$$

$$
y(x)=(1+x) \ln (1+x)+C(1+x)
$$

$$
x=0, y=1 \Rightarrow 1=0+C \Rightarrow C=1 \Rightarrow
$$

$$
y(x)=(1+x) \ln (1+x)+1+x
$$

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