在改变量无穷小的情况下，函数的增量除以自变量的增量就等于一点处的导数

一、题目

已知，$y=y(x)$ 在 $[0,+\mathrm{\infty })$ 可导，在 $\mathrm{\forall }x\in (0,+\mathrm{\infty })$ 处的增量 $\mathrm{\Delta }y=y(x+\mathrm{\Delta }x)-y(x)$ 满 足 $\mathrm{\Delta }y(1+\mathrm{\Delta }y)=\frac{y\mathrm{\Delta }x}{1+x}+\alpha$, 其中 $\alpha$ 当 $\mathrm{\Delta }x\to 0$ 时是与 $\mathrm{\Delta }x$ 等价的无穷小。又 $y(0)=1$, 则 $y(x)=?$

难度评级：

二、解析

$$\because \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{y(x+\mathrm{\Delta }x)-y(x)}{\mathrm{\Delta }x}=y^{\prime }(x)$$

$$\therefore \mathrm{\Delta }y(1+\mathrm{\Delta }y)=\frac{y\mathrm{\Delta }x}{1+x}+2\Rightarrow$$

$$\frac{\mathrm{\Delta }y(1+\mathrm{\Delta }y)}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{y}{1+x}+\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{2}{\mathrm{\Delta }x}\Rightarrow$$

$$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}(1+\mathrm{\Delta }y)=1\Rightarrow$$

$$\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{y}{1+x}+1\Rightarrow$$

$$y^{\prime }=\frac{y}{1+x}+1\Rightarrow$$

$$y^{\prime }+\frac{-1}{1+x}y=1\Rightarrow$$

$$y(x)=[\int 1\cdot e^{\int \frac{-1}{1+x}\mathrm{d}x}\mathrm{d}x+C]\cdot e^{\int \frac{1}{1+x}\mathrm{d}x}\Rightarrow$$

$$\int \frac{1}{1+x}\mathrm{d}x=\ln (1+x).$$

$$\int \frac{-1}{1+x}\mathrm{d}x=-\ln (1+x)\Rightarrow$$

$$y(x)=[\int e^{\ln \frac{1}{1+x}}\mathrm{d}x+C]e^{\ln (1+x)}\Rightarrow$$

$$y(x)=\int \frac{1}{1+x}\mathrm{d}x+C\Rightarrow$$

$$y(x)=(1+x)\ln (1+x)+C(1+x)$$

$$x=0,y=1\Rightarrow 1=0+C\Rightarrow C=1\Rightarrow$$

$$y(x)=(1+x)\ln (1+x)+1+x$$

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