连续函数在一点处的极限值就是该函数在该点处的函数值

一、题目

已知，函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，且 $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\mathrm{e}^{x}-1}=2$, 则曲线 $y=f(x)$ 在 $x=0$ 处的法线方程是什么？

难度评级：

二、解析

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{e^{x}-1}=2 \Rightarrow
$$

洛必达运算：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}(x)}{e^{x}}=2 \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} f^{\prime}(x)=f^{\prime}(0)=2 \cdot \lim \limits_{x \rightarrow 0} e^{x}=2
$$

又：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{e^{x}-1}=2 \Rightarrow \lim \limits_{x \rightarrow 0} e^{x}-1=0 \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} f(x)=0 \Rightarrow f(0)=0 \Rightarrow
$$

$$
y-0=\frac{-1}{2}(x-0) \Rightarrow
$$

$$
y=\frac{-1}{2} x
$$

---