连续函数在一点处的极限值就是该函数在该点处的函数值

一、题目

已知，函数 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处连续，且 $lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{e^{x} - 1} = 2$ , 则曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 0$ 处的法线方程是什么？

难度评级：

$lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{e^{x} - 1} = 2 \Rightarrow$

洛必达运算：

$lim_{x \to 0} \frac{f^{'} (x)}{e^{x}} = 2 \Rightarrow$

$lim_{x \to 0} f^{'} (x) = f^{'} (0) = 2 \cdot lim_{x \to 0} e^{x} = 2$

又：

$lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{e^{x} - 1} = 2 \Rightarrow lim_{x \to 0} e^{x} - 1 = 0 \Rightarrow$

$lim_{x \to 0} f (x) = 0 \Rightarrow f (0) = 0 \Rightarrow$

$y - 0 = \frac{- 1}{2} (x - 0) \Rightarrow$

$y = \frac{- 1}{2} x$

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