一、题目
已知 $f(x)$ 在 $x=a$ 处二阶导数存在，则：
$$
I=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{\frac{f(a+h)-f(a)}{h}-f^{\prime}(a)}{h}=?
$$
难度评级：
二、解析 
方法一：洛必达法则
$$
I=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{\frac{f(a+h)-f(a)}{h}-f^{\prime}(a)}{h}=
$$
变形：
$$
\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a)-h f^{\prime}(a)}{h^{2}} \Rightarrow
$$
Tips: $f(a)$ 和 $f^{\prime}(a)$ 是常数——$h$ 是变量，$a$ 是常数。
洛必达运算：
$$
\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}(a+h)-f^{\prime}(a)}{2 h} =
$$
根据导数的定义（这一步只能使用导数的定义求解，不能再使用洛必达运算了，因为题目中只说了 $f(x)$ 在 $x = a$ 这一点处的二阶导存在，而不是说 $f(x)$ 的二阶导处处存在——使用洛必达运算需要按照求导公式进行求导运算，但一点处的导数是不能用求导公式计算出来的，只能使用导数的定义求解）：
$$
\frac{1}{2} \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}(a+h)-f^{\prime}(a)}{h}=\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(a).
$$
方法二：泰勒公式
根据《泰勒公式》可知，函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处的展开公式如下：
$$
f(x)=f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right) \cdot\left(x-x_{0}\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)}{2 !} \cdot\left(x-x_{0}\right)^{2} + O \left(x-x_{0}\right)^{2}
$$
于是可知，函数 $f(a+h)$ 在点 $a$ 处的泰勒展开如下（”$a+h$” 看作一个自变量）：
$$
f(a+h)=f(a)+f^{\prime}(a) h+\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(a) h^{2}+O\left(h^{2}\right)
$$
进而：
$$
I=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{\frac{f(a+h)-f(a)}{h}-f^{\prime}(a)}{h}=
$$
$$
\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{\frac{f(a)+f^{\prime}(a) h+\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(a) h^{2}-f(a)}{h} – f^{\prime}(a)}{h}=
$$
$$
\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{\frac{f^{\prime}(a) h+\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(a) h^{2}}{h}-f^{\prime}(a)}{h}=
$$
$$
\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}(a)+\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(a) h-f^{\prime}(a)}{h}=\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(a).
$$