变量 x 的取值任意？那还怎么用等价无穷小？

一、题目

对于任意 $x$, 存在 $\theta \in (0,1)$, 使得 ${\mathrm{e}}^x=1+x+\frac{x^2}{2}{\mathrm{e}}^{\theta x}$, 则 $\underset{x\to 0}{lim}\theta =?$

难度评级：

二、解析

首先，题目让我们求解的是 $\theta$, 那么，我们就要想办法将 $\theta$ 单独提取出来（即便不能彻底单独提取，也要尽可能剥离出我们真正要求解的变量）：

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}{e}^{\theta x}\Rightarrow$$

$$e^x-1-x=\frac{x^2}{2}{e}^{\theta x}\Rightarrow$$

$$\frac{2(e^x-1-x)}{x^2}=e^{\theta x}\Rightarrow$$

$$e^{\theta }={\left[\frac{2(e^x-1-x)}{x^2}\right]}^{\frac{1}{x}}\Rightarrow$$

$$x\to 0\Rightarrow \frac{2(e^x-1-x)}{x^2}\to 0\Rightarrow$$

$$e^{\theta }={[1+\frac{2(e^x-1-x)}{x^2}-1]}^{\frac{1}{x}}\Rightarrow$$

$$e^{\theta }={[1+\frac{2(e^x-1-x)-x^2}{x^2}]}^{\frac{x^2}{2(e^x-1-x)-x^2}\cdot \frac{2(e^x-1-x)-x^2}{x^3}}\Rightarrow$$

$$e^{\theta }=e^{\frac{2(e^x-1-x)-x^2}{x^3}}\Rightarrow$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{2(e^x-1-x)-x^2}{x^3}\Rightarrow \mathrm{洛}\mathrm{必}\mathrm{达}\Rightarrow$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{2(e^x-1)-2x}{3x^2}\Rightarrow \mathrm{洛}\mathrm{必}\mathrm{达}\Rightarrow$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{2(e^x-1)}{6x}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\Rightarrow$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\theta =\frac{1}{3}$$

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