你能找出来这个隐藏在定积分下的函数吗？

一、题目

已知 $f(x)=\int_{0}^{1} \ln \sqrt{x^{2}+t^{2}} \mathrm{~d} t$, 则 $f(x)$ 在 $x=0$ 点处连续吗？可导吗？

难度评级：

二、解析

本题的重点是计算出隐藏在定积分后面的真正的函数：

$$
f(x)=\int_{0}^{1} \ln \sqrt{x^{2}+t^{2}} \mathrm{~ d} t=
$$

$$
\int_{0}^{1} \ln \left(x^{2}+t^{2}\right)^{\frac{1}{2}} \mathrm{~ d} t=
$$

$$
\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \ln \left(x^{2}+t^{2}\right) \mathrm{~ d} t =
$$

分部积分：

$$
\frac{1}{2} t \ln \left(x^{2}+t^{2}\right) \int_{t=0}^{t=1}-\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{2 t^{2}}{x^{2}+t^{2}} \mathrm{~ d} t=
$$

$$
\frac{1}{2} \ln \left(x^{2}+1\right)- \int_{0}^{1} \frac{t^{2}}{x^{2} + t^{2}} \mathrm{~ d} t=
$$

参照分母改写分子：

$$
\frac{1}{2} \ln \left(x^{2}+1\right)-\int_{0}^{1} \frac{x^{2}+t^{2}-x^{2}}{x^{2}+t^{2}} \mathrm{~ d} t=
$$

$$
\frac{1}{2} \ln \left(x^{2}+1\right)-\int_{0}^{1} \frac{x^{2}+t^{2}}{x^{2}+t^{2}} \mathrm{~ d} t+\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{x^{2}+t^{2}} \mathrm{~ d} t=
$$

$$
\frac{1}{2} \ln \left(x^{2}+1\right)-1+x^{2} \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{2}+t^{2}} \mathrm{~ d} t =
$$

$$
\frac{1}{2} \ln \left(x^{2}+1\right)-1+x^{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} \cdot x \int_{0}^{1} \frac{1}{\left(\frac{t}{x}\right)^{2}+1} \mathrm{~ d} \left(\frac{t}{x}\right) =
$$

$$
\frac{1}{2} \ln \left(x^{2}+1\right)-1+\left.x \arctan \left(\frac{t}{x}\right)\right|_{t=0} ^{t=1}=
$$

$$
\frac{1}{2} \ln \left(x^{2}+1\right)-1+x \arctan \frac{1}{x}-0
$$

于是：

$$
f(x)=\frac{1}{2} \ln \left(x^{2}+1\right)+x \arctan \frac{1}{x}-1, \quad x \neq 0
$$

接着，验证连续性：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} f(x)=\frac{1}{2} \times 0+0-1=-1
$$

$$
x=0 \Rightarrow f(0)=\int_{0}^{1} \ln t \mathrm{~ d} t=\left.t \ln t\right|_{0} ^{1}-\int_{0}^{1} 1 \mathrm{~ d} t=
$$

$$
1 \times 0-0-\int_{0}^{1} 1 \mathrm{~ d} t=-\left.x\right|_{0} ^{1}=-1
$$

即，函数 $f(x)$ 的表达式为：

$$
f(x)=\left{\begin{array}{l}\frac{1}{2} \ln \left(x^{2}+1\right)+x \arctan \frac{1}{x}-1, \ x \neq 0 \\ -1, \ x=0\end{array}\right.
$$

因此可知，函数 $f(x)$ 在点 $x=0$ 处连续。

连续不一定可导，因此，我们用一点处导数的定义验证是否可导：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}}\left[\frac{1}{2 x} \ln \left(x^{2}+1\right)+\arctan \frac{1}{x}\right] =
$$

$$
0+\arctan (+\infty)=\frac{\pi}{2}
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim \limits_{x \rightarrow 0^{-}}\left[\frac{1}{2 x} \ln \left(x^{2}+1\right)+\arctan \frac{1}{x}\right] =
$$

$$
0+\arctan (-\infty)=\frac{-\pi}{2}
$$

由于：

$$
\frac{\pi}{2} \neq \frac{-\pi}{2}
$$

因此，函数 $f(x)$ 在点 $x = 0$ 处不可导。

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