变量 x 的取值任意？那还怎么用等价无穷小？

一、题目

对于任意 $x$, 存在 $\theta \in(0,1)$, 使得 $\mathrm{e}^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2} \mathrm{e}^{\theta x}$, 则 $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \theta=?$

难度评级：

二、解析

首先，题目让我们求解的是 $\theta$, 那么，我们就要想办法将 $\theta$ 单独提取出来（即便不能彻底单独提取，也要尽可能剥离出我们真正要求解的变量）：

$$
e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2} e^{\theta x} \Rightarrow
$$

$$
e^{x}-1-x=\frac{x^{2}}{2} e^{\theta x} \Rightarrow
$$

$$
\frac{2\left(e^{x}-1-x\right)}{x^{2}}=e^{\theta x} \Rightarrow
$$

$$
e^{\theta}=\left[\frac{2\left(e^{x}-1-x\right)}{x^{2}}\right]^{\frac{1}{x}} \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{orange}{
x \rightarrow 0 \Rightarrow \frac{2\left(e^{x}-1-x\right)}{x^{2}} \rightarrow 0 \Rightarrow
}
$$

$$
e^{\theta}=\left[1+\frac{2\left(e^{x}-1-x\right)}{x^{2}}-1\right]^{\frac{1}{x}} \Rightarrow
$$

$$
e^{\theta}=\left[1+\frac{2\left(e^{x}-1-x\right)-x^{2}}{x^{2}}\right]^{\frac{x^{2}}{2\left(e^{x}-1-x\right)-x^{2}} \cdot \frac{2\left(e^{x}-1-x\right)-x^{2}}{x^{3}}} \Rightarrow
$$

$$
e^{\theta}=e^{\frac{2\left(e^{x}-1-x\right)-x^{2}}{x^{3}}} \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{2\left(e^{x}-1-x\right)-x^{2}}{x^{3}} \Rightarrow 洛必达 \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{2\left(e^{x}-1\right)-2 x}{3 x^{2}} \Rightarrow 洛必达 \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{2\left(e^{x}-1\right)}{6 x}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \theta=\frac{1}{3}
$$

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