计算平面曲线的弧长：附考研数学中计算平面曲线弧长的全部公式

一、题目

曲线 $r = a e^{b θ} (a > 0, b > 0)$ 从 $θ = 0$ 到 $θ = α (α > 0)$ 的一段弧长可以表示为（）

难度评级：

二、解析

计算平面曲线弧长的三个公式

普通方程：
$L : y = f (x), a \leq x \leq b, l = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + f^{' 2} (x)} d x$

参数方程：
$L : {\begin{cases} x = x (t) \\ y = y (t) \end{cases}, α ⩽ t ⩽ β, l = \int_{α}^{β} \sqrt{x^{' 2} (t) + y^{' 2} (t)} d t$

极坐标方程：
$L = ρ (θ), α ⩽ θ ⩽ β, l = \int_{α}^{β} \sqrt{ρ^{2} (θ) + ρ^{' 2} (θ)} d θ$

方法一：使用极坐标方程形式求解平面曲线弧长

$r = a e^{b θ} r^{'} = a b e^{b θ}$

$l = \int_{0}^{α} \sqrt{{(a e^{b θ})}^{2} + {(a b e^{b θ})}^{2}} d θ \Rightarrow$

$l = \int_{0}^{α} a e^{b θ} \sqrt{1 + b^{2}} d θ$

方法二：使用参数方程形式求解平面曲线弧长

$r = a l e^{b θ} \Rightarrow$

$x = r \cos θ = a e^{b θ} \cdot \cos θ$

$y = r \sin θ = a e^{b θ} \cdot \sin θ$

又：

$[x (θ)]_{θ}^{'} = a b e^{b θ} \cos θ - a e^{b θ} \sin θ$

$[y (θ)]_{θ}^{'} = a b e^{b θ} \sin θ + a e^{b θ} \cos θ$

于是：

${[x^{'} (θ)]}^{2} + {[y^{'} (θ)]}^{2} =$

${(a b e^{b θ} \cos θ - a e^{b θ} \sin θ)}^{2} +$

${(a b e^{b θ} \sin θ + a e^{b θ} \cos θ)}^{2} =$

${(a b e^{b θ} \cos θ)}^{2} + {(a e^{b θ} \sin θ)}^{2} +$

${(a b e^{b θ} \sin θ)}^{2} + {(a e^{b θ} \cos θ)}^{2} =$

${(a b e^{b θ})}^{2} (\cos^{2} θ + \sin^{2} θ) +$

${(a e^{b θ})}^{2} (\sin^{2} θ + \cos^{2} θ) =$

${(a b e^{b θ})}^{2} + {(a e^{b θ})}^{2}$

于是：

$l = \int_{0}^{α} \sqrt{{(a b e^{b θ})}^{2} + {(a e^{b θ})}^{2}} d θ \Rightarrow$

$l = \int_{0}^{α} a e^{b θ} \sqrt{b^{2} + 1} d θ$

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