一、题目
将累次积分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{2 \sin \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r$ 写成直角坐标系下的形式。
难度评级：
二、解析 
首先，由题可知：
$$
\theta \in (0, \frac{\pi}{2})
$$
$$
r \in (0, 2 \sin \theta)
$$
又：
$$
r = 2 \sin \theta \Rightarrow
$$
构造“平方”——乘以一个 $r$:
$$
r^{2} = 2r \sin \theta \Rightarrow
$$
$$
r^{2} (\cos ^{2} \theta + \sin ^{2} \theta) = 2 r^{2} \sin \theta \Rightarrow
$$
$$
r^{2} \cos ^{2} \theta + r^{2} \sin ^{2} \theta = 2 r^{2} \sin \theta \Rightarrow
$$
$$
x^{2} + y^{2} = 2y \Rightarrow
$$
$$
x^{2} + (y-1)^{2} = 1.
$$
于是，我们可以绘制出如下积分区域图：
$$
$$
又知，圆的方程 $x^{2} + y^{2}$ $=$ $2y$ 在直角坐标系第一象限的函数可以表示为：
$$
x = \sqrt{2y – y^{2} }
$$
被积函数为：
$$
f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \Rightarrow
$$
$$
\frac{f(r \cos \theta, r \sin \theta) r}{r} = f(x, y)
$$
且由积分区域的形式可知，先对 $y$ 积分，后对 $x$ 积分更容易表示，因此，有：
$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{2 \sin \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r =
$$
$$
\int_{0}^{2} \mathrm{~d} y \int_{0}^{\sqrt{2 y-y^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} x
$$