当一阶线性微分方程披上了变限积分的“外衣”

一、题目

已知 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续, 在 $(0,+\infty)$ 内有连续导数且 $x \int_{0}^{1} f(t x) \mathrm{d} t+2 \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=x f(x)+x^{3}$ 则可得 $f(x)$ 的表达式为（）

难度评级：

二、解析

首先，令 $s=t x$, 则：

$$
t \in(0,1) \Rightarrow s \in(0, x)
$$

$$
t=\frac{1}{x} s \Rightarrow \mathrm{~ d} t=\frac{1}{x} \mathrm{~ d} s \Rightarrow
$$

$$
x \int_{0}^{1} f(t x) \mathrm{~ d} t=x \cdot \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f(s) \mathrm{~ d} s=
$$

$$
\int_{0}^{x} f(s) \mathrm{~ d} s .
$$

于是：

$$
x \int_{0}^{1} f(t x) \mathrm{~ d} t+2 \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{~ d} t=x f(x)+x^{3} \Rightarrow
$$

$$
\int_{0}^{x} f(s) \mathrm{~ d} s+2 \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{~ d} t=x f(x)+x^{3} \Rightarrow
$$

$$
f(x)+2 f(x)=f(x)+x f^{\prime}(x)+3 x^{2} \Rightarrow
$$

$$
2 f(x)=x f^{\prime}(x)=3 x^{2} \Rightarrow
$$

$$
x f^{\prime}(x)-2 f(x)=-3 x^{2} \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime}(x)-\frac{2}{x} f(x)=-3 x \quad (x>0) \Rightarrow
$$

$$
f(x)=\left[\int-3 x e^{-\int \frac{2}{x} \mathrm{~ d} x} \mathrm{~ d} x + C \right] e^{\int \frac{2}{x} \mathrm{~ d} x}
$$

又：

$$
\int \frac{2}{x} \mathrm{~ d} x=2 \ln x
$$

$$
-\int \frac{2}{x} \mathrm{~ d} x=-2 \ln x
$$

$$
e^{\int \frac{2}{x} \mathrm{~ d} x}=e^{\ln x^{2}}=x^{2}
$$

$$
e^{-0 \int \frac{2}{x} \mathrm{~ d} x}=e^{\ln x^{-2}}=\frac{1}{x^{2}}
$$

于是：

$$
f(x)=\left[\int-3 x \cdot \frac{1}{x^{2}} \mathrm{~ d} x+c\right] x^{2} \Rightarrow
$$

$$
f(x)=[-3 \ln x+c] x^{2} \Rightarrow
$$

$$
f(x)=C x^{2}-3 x^{2} \ln x \quad(x>0)
$$

又：

$$
x=0 \Rightarrow x f^{\prime}(x)-2 f(x)=-3 x^{2} \Rightarrow
$$

$$
0-2 f(0)=0 \Rightarrow f(0)=0
$$

综上：

$$
f(x)=\left\{\begin{aligned} C x^{2}-3 x^{2} \ln x, \quad & x>0 \\ 0, \quad & x=0\end{aligned}\right.
$$

当然，对于 $x>0$ 时函数 $f(x)$ 的表达式，我们还可以通过在 $f^{\prime}(x)-\frac{2}{x} f(x)=-3 x$ 这个式子的两端同时乘以 $e^{-\int \frac{2}{x} \mathrm{~ d} x}$ 的方式得到：

$$
\frac{1}{x^{2}} f^{\prime}(x)-\frac{2}{x^{3}} f(x)=\frac{-3}{x} \Rightarrow
$$

$$
{\left[\frac{1}{x^{2}} f(x)\right]^{\prime}=\frac{-3}{x} \Rightarrow}
$$

$$
\frac{1}{x^{2}} f(x)=-3 \ln x+C \Rightarrow
$$

$$
f(x)=C x^{2}-3 x^{2} \ln x
$$

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