你能看出来下面关于数列极限的四个命题哪个是错误的吗？

一、题目

下面四个命题哪个是错误的：

(1) 数列极限 $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=a$ $\Leftrightarrow$ $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n+l}=a$. 其中 $l$ 为某个确定的正整数.

(2) 数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 收敛 (即存在极限 $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}$ ), 则 $x_{n}$ 有界.

(3) 数列极限 $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在 $\Leftrightarrow$ $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}}{x_{n}}=1$.

(4) 数列 $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=a$ $\Leftrightarrow$ $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{2 n-1}$ $=$ $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{2 n}=a$.

难度评级：

二、解析

上面的四个命题全部都是关于数列极限的，而且有三个命题中的结论都使用了 “$\Leftrightarrow$” 这个符号，表名所有这两个结论是可以互相推导的——只有可以互相推导，这个命题才成立。

根据《关于数列极限比值的那些事》这篇学习笔记可知，上面的第 (3) 个命题中：

由数列极限 $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在，能推出 $\Leftrightarrow \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}}{x_{n}}=1$;

但是，由 $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}}{x_{n}}=1$ 不一定能推出数列极限 $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在。

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