求解具体矩阵时一定记得先用对应的抽象矩阵公式化简

一、题目

已知，三阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的逆矩阵为 $\boldsymbol{A}^{-1}=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right]$, 则矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵 $\boldsymbol{A^{*}}$ 的逆矩阵 $\left(A^{*}\right)^{-1}=?$

难度评级：

二、解析

已知：

$$
A^{*}=|A| \cdot A^{-1} \Rightarrow
$$

$$
\left(A^{*}\right)^{-1}=\left(|A| \cdot A^{-1}\right)^{-1}=A \cdot \frac{1}{|A|} \Rightarrow
$$

$$
\left(A^{*}\right)^{-1}=A \cdot\left|A^{-1}\right|
$$

又：

$$
\left(A^{-1} \mid E\right) \Rightarrow 初等行变换 \Rightarrow (E \mid A) \Rightarrow
$$

$$
{\left[\begin{array}{llllll}0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccc}1 & 0 & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}\right]} \Rightarrow
$$

$$
A=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}\right]
$$

Tips:

上面这个计算过程的原理可以参考《通过把单位矩阵 E 看作一张白纸或原点来理解一些做题思路》

且：

$$
\left|A^{-1}\right|=0+1+1-0-0-0=2
$$

综上可知：

$$
(A^{*})^{-1}=2 A=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1\end{array}\right].
$$

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