洛必达法则不是什么时候都能用，但泰勒公式任何时候都能用

一、题目

已知 $f(x)$ 在 $x=a$ 处二阶导数存在，则：

$$I=\underset{h\to 0}{lim}\frac{\frac{f(a+h)-f(a)}{h}-f^{\prime }(a)}{h}=?$$

难度评级：

二、解析

方法一：洛必达法则

$$I=\underset{h\to 0}{lim}\frac{\frac{f(a+h)-f(a)}{h}-f^{\prime }(a)}{h}=$$

变形：

$$\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(a+h)-f(a)-h{f}^{\prime }(a)}{h^2}\Rightarrow$$

Tips: $f(a)$ 和 $f^{\prime }(a)$ 是常数——$h$ 是变量，$a$ 是常数。

洛必达运算：

$$\underset{h\to 0}{lim}\frac{f^{\prime }(a+h)-f^{\prime }(a)}{2h}=$$

根据导数的定义（这一步只能使用导数的定义求解，不能再使用洛必达运算了，因为题目中只说了 $f(x)$ 在 $x=a$ 这一点处的二阶导存在，而不是说 $f(x)$ 的二阶导处处存在——使用洛必达运算需要按照求导公式进行求导运算，但一点处的导数是不能用求导公式计算出来的，只能使用导数的定义求解）：

$$\frac{1}{2}\underset{h\to 0}{lim}\frac{f^{\prime }(a+h)-f^{\prime }(a)}{h}=\frac{1}{2}{f}^{\prime \prime }(a).$$

方法二：泰勒公式

根据《泰勒公式》可知，函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的展开公式如下：

$$f(x)=f\left(x_0\right)+f^{\prime }\left(x_0\right)\cdot (x-x_0)+\frac{f^{\prime \prime }\left(x_0\right)}{2!}\cdot {(x-x_0)}^2+O{(x-x_0)}^2$$

于是可知，函数 $f(a+h)$ 在点 $a$ 处的泰勒展开如下（”$a+h$” 看作一个自变量）：

$$f(a+h)=f(a)+f^{\prime }(a)h+\frac{1}{2}{f}^{\prime \prime }(a)h^2+O\left(h^2\right)$$

进而：

$$I=\underset{h\to 0}{lim}\frac{\frac{f(a+h)-f(a)}{h}-f^{\prime }(a)}{h}=$$

$$\underset{h\to 0}{lim}\frac{\frac{f(a)+f^{\prime }(a)h+\frac{1}{2}{f}^{\prime \prime }(a)h^2-f(a)}{h}–f^{\prime }(a)}{h}=$$

$$\underset{h\to 0}{lim}\frac{\frac{f^{\prime }(a)h+\frac{1}{2}{f}^{\prime \prime }(a)h^2}{h}-f^{\prime }(a)}{h}=$$

$$\underset{h\to 0}{lim}\frac{f^{\prime }(a)+\frac{1}{2}{f}^{\prime \prime }(a)h-f^{\prime }(a)}{h}=\frac{1}{2}{f}^{\prime \prime }(a).$$