如何把无穷大量的求和运算变为求极限运算？

一、题目

已知：

$$
x_{n}=\left(\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2(1+2+\cdots+k)}\right)^{n}
$$

则：

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n} = ?
$$

难度评级：

二、解析

由《等差数列的求和公式》可知：

$$
1+2+\cdots+k=\frac{k+1}{2} \times k \Rightarrow \frac{k(k+1)}{2}.
$$

于是，我们可以对原式做如下转化：

$$
x_{n}=\left[\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2(1+2+\cdots+k)}\right]^{n} \Rightarrow
$$

$$
x_{n}=\left[\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}\right]^{n} \Rightarrow
$$

$$
x_{n}=\left[\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)\right]^{n} \Rightarrow
$$

$$
x_{n}=\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n} – \frac{1}{n+1}\right)^{n} \Rightarrow
$$

Tips:

将无穷大量的求和运算变为求极限运算常用方法之一就是如上式这样——写出前面有限项，寻找其中的规律。

$$
x_{n}=\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n}.
$$

于是：

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n} \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left[1+\left(-\frac{1}{n+1}\right)\right]^{\frac{-(n+1)}{1} \times \frac{n}{-(n+1)}} \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} e^{\frac{-n}{n+1}}
$$

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} e ^{\frac{-n}{n}}=e^{-1} = \frac{1}{e}.
$$

---