比较两个无穷大（或无穷小）量的大小，需要用除法而不是减法

一、前言

如果要比较两个有限量 $a$ 和 $b$ 的大小，我们直接用减法，判断 $a - b$ 的结果是大于零还是小于零即可。

但是，如果要比较两个无穷大量的大小，还能用减法吗？

下面就以无穷大量 $lim_{n \to \infty} x^{n}$ 和 $lim_{n \to \infty} (\frac{x^{2}}{2})^{n}$ 的比较为例进行说明。

二、正文

比较 $lim_{n \to \infty} x^{n}$ 和 $lim_{n \to \infty} (\frac{x^{2}}{2})^{n}$ 的大小，其中 $x > 0$ .

如果用减法判断两个无穷大量的大小，会出现无法判断的情况：

$I = lim_{n \to \infty} x^{n} - lim_{n \to \infty} {(\frac{x^{2}}{2})}^{n} \Rightarrow$

$I = lim_{n \to \infty} [x^{n} - \frac{1}{2^{n}} x^{2^{n}}] \Rightarrow$

$I = lim_{n \to \infty} [x^{n} (1 - \frac{1}{2^{n}} x^{2})] \Rightarrow$

由于 $x^{n} > 0$ , 因此，若要使 $I > 0$ , 则有：

$lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{2^{n}} x^{2}) > 0 \Rightarrow$

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n}} x^{2} < 1.$

但是，做到上面这一步我们仍然无法确定 $x$ 的取值范围。

因此，参考等价无穷小，同阶无穷小，高阶无穷小和低阶无穷小的定义可知，需要用除法判断两个无穷大量的大小：

事实上，必须使用除法判断无穷量大小的另一种理解就是：加减法对于无穷量的影响是可以忽略不计的，因此，只能使用更具“影响力”的乘除法才能比较出无穷量的大小。

$K = \frac{lim_{n \to \infty} x^{n}}{lim_{n \to \infty} {(\frac{x^{2}}{2})}^{n}} = lim_{n \to \infty} {(\frac{x}{\frac{x^{2}}{2}})}^{n} = lim_{n \to \infty} {(\frac{2}{x})}^{n} .$

于是：

$\frac{2}{x} < 1 \Rightarrow x > 2$

$\frac{2}{x} > 1 \Rightarrow 0 < x < 2$

进而，有：

$x > 2 \Rightarrow K \to 0 \Rightarrow lim_{n \to \infty} x^{n} ≪ lim_{n \to \infty} {(\frac{x^{2}}{2})}^{n} \Rightarrow$

$lim_{n \to \infty} x^{n} + lim_{n \to \infty} {(\frac{x^{2}}{2})}^{n} = lim_{n \to \infty} {(\frac{x^{2}}{2})}^{n} (x > 2)$

且有：

$0 < x < 2 \Rightarrow K \to \infty \Rightarrow lim_{n \to \infty} x^{n} ≫ lim_{n \to \infty} {(\frac{x^{2}}{2})}^{n} \Rightarrow$

$lim_{n \to \infty} x^{n} + lim_{n \to \infty} {(\frac{x^{2}}{2})}^{n} = lim_{n \to \infty} x^{n} (0 < x < 2)$

比较两个无穷大（或无穷小）量的大小，需要用除法而不是减法

一、前言

二、正文

高等数学

线性代数

特别专题

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