如何把无穷大量的求和运算变为求极限运算？

一、题目

已知：

$x_{n} = {(\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{2 (1 + 2 + \dots + k)})}^{n}$

则：

$lim_{n \to \infty} x_{n} = ?$

难度评级：

$1 + 2 + \dots + k = \frac{k + 1}{2} \times k \Rightarrow \frac{k (k + 1)}{2} .$

于是，我们可以对原式做如下转化：

$x_{n} = {[\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{2 (1 + 2 + \dots + k)}]}^{n} \Rightarrow$

$x_{n} = {[\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k (k + 1)}]}^{n} \Rightarrow$

$x_{n} = {[\sum_{k = 1}^{n} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1})]}^{n} \Rightarrow$

$x_{n} = {(\frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1})}^{n} \Rightarrow$

Tips:

将无穷大量的求和运算变为求极限运算常用方法之一就是如上式这样——写出前面有限项，寻找其中的规律。

$x_{n} = {(1 - \frac{1}{n + 1})}^{n} .$

于是：

$lim_{n \to \infty} x_{n} = lim_{n \to \infty} {(1 - \frac{1}{n + 1})}^{n} \Rightarrow$

$lim_{n \to \infty} {[1 + (- \frac{1}{n + 1})]}^{\frac{- (n + 1)}{1} \times \frac{n}{- (n + 1)}} \Rightarrow$

$lim_{n \to \infty} e^{\frac{- n}{n + 1}}$

$lim_{n \to \infty} e^{\frac{- n}{n}} = e^{- 1} = \frac{1}{e} .$

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