高等数学基础归档 - 第44页共55页

$a^{x}$ 的求导公式（B003）

问题

a^{x}

的求导公式是什么？
其中，

a

为常数.

选项

[A].

(a^{x})^{'}

=

\ln a^{x}

[B].

(a^{x})^{'}

=

a \ln a

[C].

(a^{x})^{'}

=

\frac{x}{a}

[D].

(a^{x})^{'}

=

a^{x} \ln a

答案

$(a^{x})^{'}$ $=$ $a^{x} \ln a$

辅助图像：

a^x 的求导公式-高等数学-荒原之梦 — 图 01. 当 $a$ $=$ $10$ 时，红色曲线表示本题中原函数的图像，蓝色曲线表示本题中原函数的导函数图像.

基本求导公式：

$\csc x$ 的求导公式（B003）

问题

\csc x

的求导公式是什么？

选项

[A].

(\csc x)^{'}

=

- \csc x \cdot \cot x

[B].

(\csc x)^{'}

=

- \sec x \cdot \cot x

[C].

(\csc x)^{'}

=

\csc x - \cot x

[D].

(\csc x)^{'}

=

\csc x \cdot \cot x

答案

$(\csc x)^{'}$ $=$ $(\frac{1}{\sin x})^{'}$ $=$ $- \csc x \cdot \cot x$

辅助图像：

csc x 的求导公式-高等数学-荒原之梦 — 图 01. 红色曲线表示本题中原函数的图像，蓝色曲线表示本题中原函数的导函数图像.

基本求导公式：

$\sec x$ 的求导公式（B003）

问题

\sec x

的求导公式是什么？

选项

[A].

(\sec x)^{'}

=

\sec x \cdot \tan x

[B].

(\sec x)^{'}

=

\csc x + \tan x

[C].

(\sec x)^{'}

=

\csc x \cdot \tan x

[D].

(\sec x)^{'}

=

\sec x - \tan x

答案

$(\sec x)^{'}$ $=$ $(\frac{1}{\cos})^{'}$ $=$ $\sec x \cdot \tan x$

辅助图像：

sec x 的求导公式-高等数学-荒原之梦 — 图 01. 红色曲线表示本题中原函数的图像，蓝色曲线表示本题中原函数的导函数图像.

基本求导公式：

$\cot x$ 的求导公式（B003）

问题

\cot x

的求导公式是什么？

选项

[A].

(\cot x)^{'}

=

- \csc^{2} x

[B].

(\cot x)^{'}

=

\sec^{2} x

[C].

(\cot x)^{'}

=

- \sec^{2} x

[D].

(\cot x)^{'}

=

\csc^{2} x

答案

$(\cot x)^{'}$ $=$ $- \csc^{2} x$ $=$ $- (\frac{1}{\sin x})^{2}$

辅助图像：

cot x 的求导公式-高等数学-荒原之梦 — 图 01. 红色曲线表示本题中原函数的图像，蓝色曲线表示本题中原函数的导函数图像.

基本求导公式：

$\tan x$ 的求导公式（B003）

问题

\tan x

的求导公式是什么？

选项

[A].

(\tan x)^{'}

=

\sec^{2} x

[B].

(\tan x)^{'}

=

\csc x

[C].

(\tan x)^{'}

=

\csc^{2} x

[D].

(\tan x)^{'}

=

\sec x

答案

$(\tan x)^{'}$ $=$ $\sec^{2} x$ $=$ $(\frac{1}{\cos x})^{2}$

辅助图像：

tan x 的求导公式-高等数学-荒原之梦 — 图 01. 红色曲线表示本题中原函数的图像，蓝色曲线表示本题中原函数的导函数图像.

基本求导公式：

$\cos x$ 的求导公式（B003）

问题

\cos x

的求导公式是什么？

选项

[A].

(\cos x)^{'}

=

\sin x

[B].

(\cos x)^{'}

=

- \sin x

[C].

(\cos x)^{'}

=

- \cos x

[D].

(\cos x)^{'}

=

\cos x

答案

$(\cos x)^{'}$ $=$ $- \sin x$

辅助图像：

cos x 的求导公式-高等数学-荒原之梦 — 图 01. 红色曲线表示本题中原函数的图像，蓝色曲线表示本题中原函数的导函数图像.

基本求导公式：

$\sin x$ 的求导公式（B003）

问题

\sin x

的导数是什么？

选项

[A].

(\sin x)^{'}

=

- \sin x

[B].

(\sin x)^{'}

=

- \cos x

[C].

(\sin x)^{'}

=

\sin x

[D].

(\sin x)^{'}

=

\cos x

答案

$(\sin x)^{'}$ $=$ $\cos x$

辅助图像：

sin x 的求导公式-高等数学-荒原之梦 — 图 01. 红色曲线表示本题中原函数的图像，蓝色曲线表示本题中原函数的导函数图像.

基本求导公式：

$(x^{α})^{'}$ 的求导公式（B003）

问题

x^{α}

的导数是什么？
其中，

α

为常数.

选项

[A].

(x^{α})^{'}

=

α x^{α - 1}

[B].

(x^{α})^{'}

=

(α - 1)

x^{α}

[C].

(x^{α})^{'}

=

α x^{α}

[D].

(x^{α})^{'}

=

α x^{α + 1}

答案

$(x^{α})^{'}$ $=$ $α x^{α - 1}$

辅助图像：

x^{\alpha} 的求导公式-高等数学-荒原之梦 — 图 01. 当 $α$ $=$ $3$ 时，红色曲线表示本题中原函数的图像，蓝色曲线表示本题中原函数的导函数图像.

基本求导公式：

常数 $C$ 的求导公式（B003）

问题

常数

C

的导数是什么？

选项

[A].

C^{'}

=

0

[B].

C^{'}

=

\infty

[C].

C^{'}

=

- 1

[D].

C^{'}

=

1

答案

$C^{'}$ $=$ $0$

辅助图像：

常数 C 的求导公式-高等数学-荒原之梦 — 图 01. 当 $C$ $=$ $2$ 时，红色曲线表示本题中原函数的图像，蓝色曲线表示本题中原函数的导函数图像.

基本求导公式：

导数的除法运算法则（B003）

问题

已知

a

=

a (x)

\neq

0

b

=

b (x)

且均可导，则【

(\frac{b}{a})^{'}

=

?

】

选项

[A].

\frac{b^{'} a - b a^{'}}{a}

[B].

\frac{b^{'} a - b a^{'}}{a^{2}}

[C].

\frac{b a^{'} - b^{'} a}{a^{2}}

[D].

\frac{b^{'} a + b a^{'}}{a^{2}}

答案

$(\frac{b}{a})^{'}$ $=$ $\frac{b^{'} a - b a^{'}}{a^{2}}$ , $a$ $\neq$ $0$ .
特别的，当 $c$ 为常数的时候，有： $(\frac{c}{a})^{'}$ $=$ $\frac{- a^{'} c}{a^{2}}$

导数的运算法则：

加减法

乘法

除法

导数的乘法运算法则（B003）

问题

已知

a

=

a (x)

b

=

b (x)

且均可导，则【

(a \times b)^{'}

=

?

】

选项

[A].

a \times b^{'}

-

a^{'} \times b

[B].

a^{'} \times b^{'}

+

a \times b

[C].

a^{'} \times b

-

a \times b^{'}

[D].

a^{'} \times b

+

a \times b^{'}

答案

$(a \times b)^{'}$ $=$ $a^{'} \times b$ $+$ $a \times b^{'}$
简单写法： $(a b)^{'}$ $=$ $a^{'} b$ $+$ $a b^{'}$

导数的运算法则：

加减法

乘法

除法

导数的加减法运算法则（B003）

问题

已知

a

=

a (x)

b

=

b (x)

且均可导，则【

(a \pm b)^{'}

=

?

】

选项

[A].

a^{'}

\mp

b^{'}

[B].

a^{'}

\pm

b^{'}

[C].

a

\mp

b

[D].

a

\pm

b

答案

$(a \pm b)^{'}$ $=$ $a^{'}$ $\pm$ $b^{'}$

导数的运算法则：

加减法

乘法

除法

微分体现了什么样的数学思想？（B003）

问题

以下哪个选项是微分所体现的数学思想？

选项

[A]. 以曲代直

[B]. 化直为曲

[C]. 以直代曲

[D]. 化多为少

答案

微分体现了【以直代曲】的数学思想.

微分的定义该如何理解？

通过本文，让我们彻底理解微分的定义。

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导数的数学意义是什么？（B003）

问题

导数（导函数）的【数学意义】是什么？

选项

[A]. 导数变化率

[B]. 峰值变化率

[C]. 平均变化率

[D]. 瞬时变化率

答案

导数（导函数）的数学意义是瞬时变化率.