考研数学公式 – 第 17 页

问题

已知，$M_{i j}$ 是行列式中元素 $a_{i j}$ 的余子式，则，该元素的代数余子式 $ A_{i j}$ $=$ $?$

选项

[A]. $A_{i j}$ $=$ $(-1)^{i-j}$ $M_{i j}$

[B]. $A_{i j}$ $=$ $(-1)^{i+j}$ $M_{i j}$

[C]. $A_{i j}$ $=$ $(-1)^{i+j+1}$ $M_{i j}$

[D]. $A_{i j}$ $=$ $- M_{i j}$

答案

$A_{i j}$ $=$ $(-1)^{i+j}$ $M_{i j}$

问题

已知，有如下行列式：
$\begin{vmatrix} a & b & c\\ d & \textcolor{Red}{e} & f\\ g & h & i \end{vmatrix}$.

则，在上述行列式，元素 $e$ 对应的余子式是什么？

选项

[A]. $\begin{bmatrix} e & f\\ h & i \end{bmatrix}$

[B]. $\begin{bmatrix} b & c\\ h & i \end{bmatrix}$

[C]. $\begin{bmatrix} a & b\\ g & h \end{bmatrix}$

[D]. $\begin{bmatrix} a & c\\ g & i \end{bmatrix}$

答案

$\begin{vmatrix} a & b & c\\ d & \textcolor{Red}{e} & f\\ g & h & i \end{vmatrix}$ 的余子式：

$\begin{bmatrix} a & c\\ g & i \end{bmatrix}$

说明：
在 $n$ 阶行列式中，划去元素 $a_{i j}$ 所在的第 $i$ 行和第 $j$ 列，剩下的元素按照原来的位置组成的 $n$ $-$ $1$ 阶行列式，称为 $a_{i j}$ 的余子式，记作 $M_{i j}$.

交换行列式的两行或两列时的性质（C001）

问题

如果，把一个行列式的某两行或某两列进行交换，则该行列式会表现出来怎样的性质？

选项

[A]. 行列式等于 $0$

[B]. 行列式的值不变

[C]. 行列式变号

[D]. 行列式等于 $1$

答案

行列式变号

把行列式某行或某列的 $k$ 倍加至另一行或列时的性质（C001）

问题

如果，把一个行列式的某行或某列的 $k$ 倍加至该行列式的另一行或另一列，则该行列式会表现出来怎样的性质？

选项

[A]. 当 $k$ $<$ $0$ 时行列式变号，当 $k$ $>$ $0$ 时行列式不变号

[B]. 行列式变号

[C]. 行列式的值不变

[D]. 当 $k$ $>$ $0$ 时行列式变号，当 $k$ $<$ $0$ 时行列式不变号

答案

行列式的值不变

行列式中某两行或两列元素成比例时的性质（C001）

问题

当行列式中某两行或两列元素成比例时，该行列式会表现出来怎样的性质？

选项

[A]. 该行列式不等于 $1$

[B]. 该行列式不等于 $0$

[C]. 该行列式等于 $1$

[D]. 该行列式等于 $0$

答案

该行列式等于 $0$

行列式中某两行或两列元素相同时的性质（C001）

问题

当行列式中某两行或两列元素相同时，该行列式会表现出来怎样的性质？

选项

[A]. 该行列式等于 $0$

[B]. 该行列式不等于 $1$

[C]. 该行列式不等于 $0$

[D]. 该行列式等于 $1$

答案

该行列式等于 $0$

行列式中某一行或列元素全为零时的性质（C001）

问题

当行列式中某一行或者某一列的元素全为 $0$ 的时，该行列式会表现出来怎样的性质？

选项

[A]. 该行列式不等于 $1$

[B]. 该行列式不等于 $0$

[C]. 该行列式等于 $1$

[D]. 该行列式等于 $0$

答案

该行列式等于 $0$

行列式的可拆分性（C001）

问题

如果，行列式中某一行或者某一列的元素可以写成两数之和的形式，如：

$\left|\begin{array}{lll} a_{11}+b_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31}+b_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right|$.

则，根据行列式的性质，可以对上面的行列式做什么样的转换？

选项

[A]. $\left|\begin{array}{lll} a_{11}+b_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31}+b_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right|$ $=$ $\left|\begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right|$ $-$ $\left|\begin{array}{lll} b_{11} & a_{12} & a_{13} \\ b_{21} & a_{22} & a_{23} \\ b_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right|$

[B]. $\left|\begin{array}{lll} a_{11}+b_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31}+b_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right|$ $=$ $\left|\begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right|$ $+$ $\left|\begin{array}{lll} b_{11} & a_{12} & a_{13} \\ b_{21} & a_{22} & a_{23} \\ b_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right|$

[C]. $\left|\begin{array}{lll} a_{11}+b_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31}+b_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right|$ $=$ $\left|\begin{array}{lll} \frac{1}{a_{11}} & a_{12} & a_{13} \\ \frac{1}{a_{21}} & a_{22} & a_{23} \\ \frac{1}{a_{31}} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right|$ $+$ $\left|\begin{array}{lll} \frac{1}{b_{11}} & a_{12} & a_{13} \\ \frac{1}{b_{21}} & a_{22} & a_{23} \\ \frac{1}{b_{31}} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right|$

[D]. $\left|\begin{array}{lll} a_{11}+b_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31}+b_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right|$ $=$ $\left|\begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right|$ $\times$ $\left|\begin{array}{lll} b_{11} & a_{12} & a_{13} \\ b_{21} & a_{22} & a_{23} \\ b_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right|$

答案

$\left|\begin{array}{lll} \textcolor{Red}{a_{11}} \textcolor{yellow}{+} \textcolor{cyan}{b_{11}} & a_{12} & a_{13} \\ \textcolor{Red}{a_{21}} \textcolor{yellow}{+} \textcolor{cyan}{b_{21}} & a_{22} & a_{23} \\ \textcolor{Red}{a_{31}} \textcolor{yellow}{+} \textcolor{cyan}{b_{31}} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right|$ $=$ $\left|\begin{array}{lll} \textcolor{Red}{a_{11}} & a_{12} & a_{13} \\ \textcolor{Red}{a_{21}} & a_{22} & a_{23} \\ \textcolor{Red}{a_{31}} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right|$ $\textcolor{yellow}{+}$ $\left|\begin{array}{lll} \textcolor{cyan}{b_{11}} & a_{12} & a_{13} \\ \textcolor{cyan}{b_{21}} & a_{22} & a_{23} \\ \textcolor{cyan}{b_{31}} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right|$

常数公因子 $k$ 在行列式中的处理方式（C001）

问题

若行列式的某行或列有公因子 $k$, 则以下对该公因子的处理方式中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ k a_{i 1} & k a_{i 2} & \cdots & k a_{i n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|$ $=$ $k^{n}$ $\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{i 1} & a_{i 2} & \cdots & a_{i n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right|$

[B]. $\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ k a_{i 1} & k a_{i 2} & \cdots & k a_{i n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|$ $=$ $\frac{1}{k}$ $\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{i 1} & a_{i 2} & \cdots & a_{i n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right|$

[C]. $\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ k a_{i 1} & k a_{i 2} & \cdots & k a_{i n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|$ $=$ $k$ $\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{i 1} & a_{i 2} & \cdots & a_{i n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right|$

[D]. $\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ k a_{i 1} & k a_{i 2} & \cdots & k a_{i n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|$ $=$ $-k$ $\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{i 1} & a_{i 2} & \cdots & a_{i n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right|$

答案

$\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \textcolor{red}{k} a_{i 1} & \textcolor{red}{k} a_{i 2} & \cdots & \textcolor{red}{k} a_{i n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|$ $=$ $\textcolor{red}{k}$ $\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{i 1} & a_{i 2} & \cdots & a_{i n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right|$

行列式与转置行列式之间的关系（C001）

问题

已知，$D$ 为行列式，$D^{T}$ 为该行列式的转置行列式。

则，$D$ 与 $D^{T}$ 之间的关系是什么？

选项

[A]. $D$ $\neq$ $D^{T}$

[B]. $D$ $=$ $- D^{T}$

[C]. $D$ $=$ $D^{T}$

[D]. $D$ $=$ $2 D^{T}$

答案

$D$ $=$ $D^{T}$

一阶常系数非齐次线性差分方程的特解：$f(t)$ $=$ $d^{t}$ $\cdot$ $P_{m}(t)$ 且 $a$ $+$ $d$ $=$ $0$（B032）

问题

已知，有一阶常系数非齐次线性差分方程：
$y_{t+1}$ $+$ $a$ $y_{t}$ $=$ $f(t)$.

其中，非齐次项 $f(t)$ $=$ $f(t)$ $=$ $d^{t}$ $\cdot$ $P_{m}(t)$, 其中，$d$ 为非零常数，$P_{m}(t)$ $=$ $b_{0}$ $+$ $b_{1}$ $t$ $+$ $\cdots$ $+$ $b_{m}$ $t^{m}$

且：$a$ $+$ $d$ $\neq$ $0$.

则，试取特解的形式 $y_{t}^{*}$ $=$ $?$

选项

[A]. $y_{t}^{*}$ $=$ $t$ $\cdot$ $Q_{m}(t)$

[B]. $y_{t}^{*}$ $=$ $\frac{1}{t}$ $\cdot$ $d^{t}$ $\cdot$ $Q_{m}(t)$

[C]. $y_{t}^{*}$ $=$ $d^{t}$ $\cdot$ $Q_{m}(t)$

[D]. $y_{t}^{*}$ $=$ $t$ $\cdot$ $d^{t}$ $\cdot$ $Q_{m}(t)$

答案

$y_{t}^{*}$ $=$ $t$ $\cdot$ $d^{t}$ $\cdot$ $Q_{m}(t)$

其中，$Q_{m}(t)$ $=$ $B_{0}$ $+$ $B_{1}$ $t$ $+$ $\cdots$ $+$ $B_{m}$ $t^{m}$, 其中 $B_{0}$, $B_{1}$, $\cdots$, $B_{m}$ 为待定常数.

一阶常系数非齐次线性差分方程的特解：$f(t)$ $=$ $d^{t}$ $\cdot$ $P_{m}(t)$ 且 $a$ $+$ $d$ $\neq$ $0$（B032）

问题

已知，有一阶常系数非齐次线性差分方程：
$y_{t+1}$ $+$ $a$ $y_{t}$ $=$ $f(t)$.

其中，非齐次项 $f(t)$ $=$ $f(t)$ $=$ $d^{t}$ $\cdot$ $P_{m}(t)$, 其中，$d$ 为非零常数，$P_{m}(t)$ $=$ $b_{0}$ $+$ $b_{1}$ $t$ $+$ $\cdots$ $+$ $b_{m}$ $t^{m}$

且：$a$ $+$ $d$ $\neq$ $0$.

则，试取特解的形式 $y_{t}^{*}$ $=$ $?$

选项

[A]. $y_{t}^{*}$ $=$ $Q_{m}(t)$

[B]. $y_{t}^{*}$ $=$ $\frac{1}{t}$ $\cdot$ $Q_{m}(t)$

[C]. $y_{t}^{*}$ $=$ $t$ $\cdot$ $Q_{m}(t)$

[D]. $y_{t}^{*}$ $=$ $d^{t}$ $\cdot$ $Q_{m}(t)$

答案

$y_{t}^{*}$ $=$ $d^{t}$ $\cdot$ $Q_{m}(t)$

其中，$Q_{m}(t)$ $=$ $B_{0}$ $+$ $B_{1}$ $t$ $+$ $\cdots$ $+$ $B_{m}$ $t^{m}$, 其中 $B_{0}$, $B_{1}$, $\cdots$, $B_{m}$ 为待定常数.

一阶常系数非齐次线性差分方程的特解：$f(t)$ $=$ $P_{m}(t)$ 且 $a$ $=$ $-1$（B032）

问题

已知，有一阶常系数非齐次线性差分方程：
$y_{t+1}$ $+$ $a$ $y_{t}$ $=$ $f(t)$.

其中，非齐次项 $f(t)$ $=$ $P_{m}(t)$ $=$ $b_{0}$ $+$ $b_{1}$ $t$ $+$ $\cdots$ $+$ $b_{m}$ $t^{m}$

且：$a$ $=$ $-1$.

则，试取特解的形式 $y_{t}^{*}$ $=$ $?$

选项

[A]. $y_{t}^{*}$ $=$ $t$

[B]. $y_{t}^{*}$ $=$ $\frac{1}{t}$ $Q_{m}(t)$

[C]. $y_{t}^{*}$ $=$ $Q_{m}(t)$

[D]. $y_{t}^{*}$ $=$ $t$ $Q_{m}(t)$

答案

$y_{t}^{*}$ $=$ $t$ $Q_{m}(t)$

其中，$Q_{m}(t)$ $=$ $B_{0}$ $+$ $B_{1}$ $t$ $+$ $\cdots$ $+$ $B_{m}$ $t^{m}$, 其中 $B_{0}$, $B_{1}$, $\cdots$, $B_{m}$ 为待定常数.

一阶常系数非齐次线性差分方程的特解：$f(t)$ $=$ $P_{m}(t)$ 且 $a$ $\neq$ $-1$（B032）

问题

已知，有一阶常系数非齐次线性差分方程：
$y_{t+1}$ $+$ $a$ $y_{t}$ $=$ $f(t)$.

其中，非齐次项 $f(t)$ $=$ $P_{m}(t)$ $=$ $b_{0}$ $+$ $b_{1}$ $t$ $+$ $\cdots$ $+$ $b_{m}$ $t^{m}$

且：$a$ $\neq$ $-1$.

则，试取特解的形式 $y_{t}^{*}$ $=$ $?$

选项

[A]. $y_{t}^{*}$ $=$ $Q_{m}(t)$ $=$ $B_{0}$ $+$ $B_{1}$ $+$ $\cdots$ $+$ $B_{m}$

[B]. $y_{t}^{*}$ $=$ $Q_{m}(t)$ $=$ $B_{1}$ $t$ $+$ $\cdots$ $+$ $B_{m}$ $t^{m}$

[C]. $y_{t}^{*}$ $=$ $Q_{m}(t)$ $=$ $B_{0}$ $+$ $B_{1}$ $t$ $+$ $\cdots$ $+$ $B_{m}$ $t^{m}$

[D]. $y_{t}^{*}$ $=$ $Q_{m}(t)$ $=$ $B_{0}$ $t$ $+$ $B_{1}$ $t^{2}$ $t$ $+$ $\cdots$ $+$ $B_{m}$ $t^{m+1}$

答案

$y_{t}^{*}$ $=$ $Q_{m}(t)$ $=$ $B_{0}$ $+$ $B_{1}$ $t$ $+$ $\cdots$ $+$ $B_{m}$ $t^{m}$, 其中 $B_{0}$, $B_{1}$, $\cdots$, $B_{m}$ 为待定常数.

齐次差分方程通解的形式（B032）

问题

已知，$C$ 为任意常数，则以下哪个是齐次差分方程通解的形式？

选项

[A]. $y_{C}(t)$ $=$ $C$ $\cdot$ $(-a)^{t}$

[B]. $y_{C}(t)$ $=$ $(-a)^{t}$ $+$ $C$

[C]. $y_{C}(t)$ $=$ $C$ $\cdot$ $(a)^{t+1}$

[D]. $y_{C}(t)$ $=$ $C$ $\cdot$ $(a)^{t}$

答案

$y_{C}(t)$ $=$ $C$ $\cdot$ $(-a)^{t}$