一阶常系数非齐次线性差分方程的特解：$f(t)$ $=$ $d^{t}$ $\cdot$ $P_{m}(t)$ 且 $a$ $+$ $d$ $\neq$ $0$（B032）

问题

已知，有一阶常系数非齐次线性差分方程：
$y_{t+1}$ $+$ $a$ $y_{t}$ $=$ $f(t)$.

其中，非齐次项 $f(t)$ $=$ $f(t)$ $=$ $d^{t}$ $\cdot$ $P_{m}(t)$, 其中，$d$ 为非零常数，$P_{m}(t)$ $=$ $b_{0}$ $+$ $b_{1}$ $t$ $+$ $\cdots$ $+$ $b_{m}$ $t^{m}$

且：$a$ $+$ $d$ $\neq$ $0$.

则，试取特解的形式 $y_{t}^{*}$ $=$ $?$

选项

[A].   $y_{t}^{*}$ $=$ $Q_{m}(t)$

[B].   $y_{t}^{*}$ $=$ $\frac{1}{t}$ $\cdot$ $Q_{m}(t)$

[C].   $y_{t}^{*}$ $=$ $t$ $\cdot$ $Q_{m}(t)$

[D].   $y_{t}^{*}$ $=$ $d^{t}$ $\cdot$ $Q_{m}(t)$

   答 案   

$y_{t}^{*}$ $=$ $d^{t}$ $\cdot$ $Q_{m}(t)$

其中，$Q_{m}(t)$ $=$ $B_{0}$ $+$ $B_{1}$ $t$ $+$ $\cdots$ $+$ $B_{m}$ $t^{m}$, 其中 $B_{0}$, $B_{1}$, $\cdots$, $B_{m}$ 为待定常数.