一、题目
已知 $\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \left(\frac{x^{2}}{x+1}-a x-b\right)$ $=$ $0$, 则 ( )
(A). $a=1$, $b=1$
(B). $a=-1$, $b=-1$
(C). $a=1$, $b=-1$
(D). $a=-1$, $b=1$
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继续阅读“为了表示不同阶的无穷大，我们发明了一种标记方式”为了表示不同阶的无穷大，我们发明了一种标记方式
一、题目
标签： 高等数学练习题
0 乘以无穷大（∞）还是 0，震荡时无穷大不存在
一、题目
当 $x \rightarrow 0$ 时, $\frac{1}{x^{2}} \sin \frac{1}{x}$ 是（ ）
(A). 无穷小
(C). 无界但非无穷大
(B). 无穷大
(D). 有界但非无穷小
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继续阅读“0 乘以无穷大（∞）还是 0，震荡时无穷大不存在”利用零点定理和单调性判断实根个数的原理分析与例题
前言
利用零点定理和单调性判断函数在一个区间内零点的具体个数或者大致个数属于考研数学中一类基础题目。在本文中，荒原之梦考研数学将通过多张函数图像，形象的阐述清楚该考点的原理，还会通过一些例题，加深同学们对该考点的理解。
对涉及反三角函数的数列进行敛散性和单调性的判定
一、题目
已知数列 $\left\{x_{n}\right\}$，且有如下说法：
① 若 $\left\{\arctan x_{n}\right\}$ 收敛，则 $\left\{x_{n}\right\}$ 收敛
② 若 $\left\{\arctan x_{n}\right\}$ 单调，则 $\left\{x_{n}\right\}$ 收敛
③ 若 $x_{n} \in[-1,1]$, 且 $\left\{x_{n}\right\}$ 收敛，则 $\left\{\arcsin x_{n}\right\}$ 收敛
④ 若 $x_{n} \in[-1,1]$, 且 $\left\{x_{n}\right\}$ 单调，则 $\left\{\arcsin x_{n}\right\}$ 收敛
则上面的说法中，正确的是哪些？
(A). ① ②
(C). ① ③
(B). ③ ④
(D). ② ④
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继续阅读“对涉及反三角函数的数列进行敛散性和单调性的判定”极坐标系二重积分的转换坐标系和调换积分次序的计算
一、题目
$I$ $=$ $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \sigma \int_{0}^{\frac{1}{\sin \theta}} f(r) r \mathrm{~d} r$ $=$ $?$
(A) $\int_{0}^{1}$ $\mathrm{~d} x$ $\int_{0}^{1} f\left(\sqrt{x^{2} + y^{2}}\right)$ $\mathrm{~d} y$
(B) $\int_{0}^{1}$ $\mathrm{~d} x$ $\int_{1}^{x} f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)$ $\mathrm{~d} y$
(C) $\int_{0}^{1}$ $\mathrm{~d} r$ $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}$ $f(r) r \mathrm{~d} \sigma$ $+$ $\int_{1}^{\sqrt{2}}$ $\mathrm{~d} r$ $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\arcsin \frac{1}{r}}$ $f(r) r$ $\mathrm{~d} \sigma$
(D) $\int_{0}^{\sqrt{2}}$ $\mathrm{dr}$ $\int_{\arcsin \frac{1}{\mathrm{r}}}^{\frac{\pi}{4}}$ $f(\mathrm{r})$ $\mathrm{~d} \sigma$
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继续阅读“极坐标系二重积分的转换坐标系和调换积分次序的计算”无穷大乘以无穷大一定得更高阶的无穷大
一、题目
已知，当 $x \rightarrow + \infty$ 时, $f(x)$, $g(x)$ 都是无穷大, 则当 $x \rightarrow + \infty$ 时, 下列结论正确的是哪个？
A. $f(x)-g(x)$ 是无穷小
C. $\frac{f(x)+g(x)}{f(x) g(x)}$ 是无穷小
B. $f(x)+g(x)$ 是无穷大
D. $\frac{g(x)}{f(x)} \rightarrow 1$
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继续阅读“无穷大乘以无穷大一定得更高阶的无穷大”对于不是分式的式子一般不能直接“抓大头”
一、题目
已知，函数 $f(x)$ $=$ $\sqrt{1+x+x^{2}}$ $-$ $\sqrt{1-x+x^{2}}$, 则 ( )
A. $f(x)$ 为奇函数
C. $f(x)$ 为无界函数
B. $f(x)$ 为偶函数
D. $\lim \limits_{x \rightarrow \infty}$ $f(x)$ $=$ $1$
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继续阅读“对于不是分式的式子一般不能直接“抓大头””利用单调函数的定义判断复合函数的单调性
一、题目
设函数 $f(x)$ $=$ $\cos (\sin x)$, $g(x)$ $=$ $\sin (\cos x)$, 则当 $x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 时，可以判断（ ）
A. $f(x)$ 单调增加，$g(x)$ 单调减少
C. $f(x)$ 与 $g(x)$ 都单调减少
B. $f(x)$ 单调减少，$g(x)$ 单调增加
D. $f(x)$ 与 $g(x)$ 都单调增加
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继续阅读“利用单调函数的定义判断复合函数的单调性”利用奇偶性和对称性直接计算极坐标系下的二重积分
一、题目
$I$ $=$ $\iint_{x^{2}+y^{2} \leq 1}$ $(2 x+3 y)^{2}$ $\mathrm{~d} \sigma$ $=$ $?$
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继续阅读“利用奇偶性和对称性直接计算极坐标系下的二重积分”这道题目用荒原之梦考研数学的“单路径约束法”可以“秒解”
一、题目
函数 $f(x)$ $=$ $|x \sin x| \mathrm{e}^{\cos x}$, $x \in(-\infty, +\infty)$, 是 ( )
A. 单调函数
C. 有界函数
B. 周期函数
D. 偶函数
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继续阅读“这道题目用荒原之梦考研数学的“单路径约束法”可以“秒解””你会用“逆向洛必达运算”解题吗？
一、题目
已知函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内二阶连续可导，且：
$$
\textcolor{white}{
I = \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1-f(x)}-1}{\int_{0}^{x} \ln \cos (x-t) \mathrm{~d} t}=-1
}
$$
则一下选项中，正确的是哪个？
(A) $x=0$ 为 $f(x)$ 的极小值点
(B) $x=0$ 为 $f(x)$ 的极大值点
(C) $x=0$ 不是 $f(x)$ 的极值点，$(0, f(0))$ 也不是曲线 $y = f(x)$ 的拐点
(D) $(0, f(0))$ 为曲线 $y = f(x)$ 的拐点
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继续阅读“你会用“逆向洛必达运算”解题吗？”通过全微分确定二元函数的非条件极值
一、题目
已知函数 $z=f(x, y)$ 的全微分 $\mathrm{~d} z$ $=$ $\left(a y-x^{2}\right) \mathrm{~d} x$ $+$ $\left(a x-y^{2}\right) \mathrm{~d} y$, $(a>0)$ 则函数 $f(x, y)$
(A) 无极值点
(B) 点 $(a, a)$ 为极小值点
(C) 点 $(a, a)$ 为极大值点
(D) 是否有极值点与 $a$ 的取值有关
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本题的难点在于从题目给出的全微分式子中确定一阶偏导函数的表达式。
变上限积分一定可导吗？
一、题目
设 $f(x)$ $=$ $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{-x+x \mathrm{e}^{n x}}{1+\mathrm{e}^{n x}}$, 则 $F(x)$ $=$ $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 是 （ ）
(A) 可导的偶函数
(C) 连续但不可导的偶函数
(B) 可导的奇函数
(D) 连续但不可导的奇函数
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继续阅读“变上限积分一定可导吗？”复合函数求偏导：没“偏”谁就把谁先代进去
不参与偏导运算的纯粹的自变量（不是函数）的具体数值可以在求偏导前先代入。
题目一
已知 $z=\left(x + e^{y}\right)^{x}$, 则：
$$\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(1,0)}=?$$
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继续阅读“复合函数求偏导：没“偏”谁就把谁先代进去”转为极坐标系后，怎么确定新的积分上下限？
一、题目
已知积分区域 $D$ $=$ $\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant y\right\}$, 求二重积分 $I$ $=$ $\iint_{D} \sqrt{1-x^{2}-y^{2}} \mathrm{~d} \sigma$.
难度评级：
继续阅读“转为极坐标系后，怎么确定新的积分上下限？”