变上限积分一定可导吗？

一、题目

难度评级：

二、解析

本题中的函数 $F(x)$ 其实是一个变上限积分，一般情况下，设计变限积分的题目通常都是要做求导运算的，但是，变上限积分并不一定可导，在本题中，我们就要尝试判断 $F(x)$ 这个变限积分是否可导。

(1) 当 $x>0$ 时：

$$
\begin{aligned}
f(x) \\
& = \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{-x+x \mathrm{e}^{n x}}{1+\mathrm{e}^{n x}} \\ \\
& = \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{e^{nx}(-x \mathrm{e}^{-n x}+x)}{e^{nx}(\mathrm{e}^{-n x}+1)} \\ \\
& = \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{-x \mathrm{e}^{-n x}+x}{\mathrm{e}^{-n x}+1} \\ \\
& = \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{0 + x}{0 + 1} \\ \\
& = \textcolor{springgreen}{x}
\end{aligned}
$$

(2) 当 $x=0$ 时：

$$
\begin{aligned}
f(x) \\
& = \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{-x+x \mathrm{e}^{n x}}{1+\mathrm{e}^{n x}} \\ \\
& = \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{0 + 0}{1 + 0} \\ \\
& = \textcolor{springgreen}{0}
\end{aligned}
$$

(3) 当 $x<0$ 时：

$$
\begin{aligned}
f(x) \\
& = \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{-x+x \mathrm{e}^{n x}}{1+\mathrm{e}^{n x}} \\ \\
& = \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{-x + 0}{1 + 0} \\ \\
& = \textcolor{springgreen}{-x}
\end{aligned}
$$

综上，有：

$$
\textcolor{orangered}{
f(x)=\begin{cases}
x, & x>0, \\
0, & x=0, \\
-x, & x<0 .
\end{cases}
}
$$

因此可知，函数 $f(x)$ 是连续的偶函数，于是，函数 $F(x)$ 是可导的奇函数，(B) 选项正确 。

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