转为极坐标系后，怎么确定新的积分上下限？

一、题目

已知积分区域 $D$ $=$ $\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant y\right\}$, 求二重积分 $I$ $=$ $\iint_{D} \sqrt{1-x^{2}-y^{2}} \mathrm{~d} \sigma$.

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二、解析

首先，我们需要确定积分区域的形状：

$$
\begin{aligned}
x^{2}+y^{2} \leqslant y & \rightleftarrows \\
x^{2}+y^{2} – y \leqslant 0 & \rightleftarrows \\
& x^{2}+\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2} \leqslant\left(\frac{1}{2}\right)^{2}
\end{aligned}
$$

因此，积分区域 $D$ 是一个圆心在 $(0, \frac{1}{2})$, 半径为 $\frac{1}{2}$ 的圆，如图 01 所示：

由于积分区域为圆，且关于 $Y$ 轴对称，因此，我们考虑将二重积分 $I$ 转到极坐标系中进行计算，由于：

$$
\left\{\begin{array}{l}x=r \cos \theta \\ y=r \sin \theta\end{array} \Rightarrow x^{2}+y^{2}=r^{2} \right.
$$

所以：

$$
\begin{aligned}
I & = \iint_{D} \sqrt{1-\left(x^{2}+y^{2}\right)} \mathrm{~d} \sigma \\
& = \iint_{D} \sqrt{1-r^{2}} \cdot r \cdot \mathrm{~d} \sigma \\
& = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{\textcolor{orangered}{0}}^{\textcolor{orangered}{\sin \theta}} r \sqrt{1-r^{2}} \mathrm{~d} r
\end{aligned}
$$

那么，上面的角度 $\theta$ 和径长度 $r$ 的取值范围是怎么确定的呢？

首先，由于我们只在 $Y$ 轴右半轴的第一象限内积分，观察可知，$\theta$ 的取值范围应该为：

$$
\theta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)
$$

接着，由积分区域的表达式可得：

$$
\begin{aligned}
\textcolor{orangered}{x^{2}+y^{2} \leqslant y} & \Rightarrow \\
r^{2} \cos ^{2} \theta+r^{2} \sin ^{2} \theta=r \sin \theta & \Rightarrow \\
r \cos ^{2} \theta+r \sin ^{2} \theta=\sin \theta & \Rightarrow \\
r\left(\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta\right)=\sin \theta & \Rightarrow \\
& \textcolor{orangered}{r=\sin \theta}
\end{aligned}
$$

因此，$r$ 的取值范围为：

$$
\textcolor{orangered}{r \in (0, \ \sin \theta)}
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
I & = -\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{\sin \theta}\left(1-r^{2}\right)^{\frac{1}{2}} d\left(1-r^{2}\right) \\ \\
& = -\left.\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2}{3}\left(1-r^{2}\right)^{\frac{3}{2}}\right|_{0} ^{\sin \theta} \mathrm{~d} \theta \\ \\
& = -\frac{2}{3} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\cos ^{3} \theta-1\right) \mathrm{~d} \theta \\ \\
& = -\frac{2}{3}\left[\frac{2}{3} \cdot 1-\frac{\pi}{2}\right] \mathrm{~d} \theta \\ \\
& = \frac{\pi}{3}-\frac{4}{9}
\end{aligned}
$$

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