不参与偏导运算的纯粹的自变量（不是函数）的具体数值可以在求偏导前先代入。
题目一
已知 $z=\left(x + e^{y}\right)^{x}$, 则：
$$\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(1,0)}=?$$
难度评级：
解析一
对 $x$ 求偏导，则 $y$ 看作常数，可以先将 $y = 0$ 代入原式，则有：
$$
z=(x+1)^{x}
$$
对幂指函数求导，最好将其转为对数函数或者含有 $e$ 的函数，因此，有：
$$
z=e^{x \ln (x+1)}
$$
求偏导：
$$
\begin{aligned}
\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(1,0)} \\
& = \left.e^{x \ln (x+1)}\left[\ln (x+1)+\frac{x}{x+1}\right]\right|_{(1,0)} \\
& = 2\left(\ln 2+\frac{1}{2}\right) \\
& = 2 \ln 2+1
\end{aligned}
$$
题目二
已知函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $(x+1) z$ $+$ $y \ln z$ $-$ $\arctan (2 x y)$ $=$ $1$ 确定, 则：
$$\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(0,2)}=?$$
难度评级：
解析二
首先，将 $x=0$, $y=2$ 代入 $(x+1) z$ $+$ $y \ln z$ $-$ $\arctan (2 x y)$ $=$ $1$, 得：
$$
z+2 \ln z – 0 = 1 \Rightarrow z = 1
$$
由于 $y$ 与 $x$ 和 $z$ 都无关，因此，可以先把 $y = 2$ 代入 $(x+1) z$ $+$ $y \ln z$ $-$ $\arctan (2 x y)$ $=$ $1$, 得：
$$
(x+1) z + 2 \ln z – \arctan (4 x) = 1 \tag{1}
$$
对上面的 (1) 式求 $x$ 的偏导，得：
$$
z+(x+1) z_{x}^{\prime}+2 \frac{z_{x}^{\prime}}{z}-4 \frac{1}{1+(4 x)^{2}}=0 \tag{2}
$$
将 $\begin{cases}
x = 0 \\
y = 2 \\
z = 1
\end{cases}$ 代入上面的 (2) 式，得：
$$
1+z_{x}^{\prime}+2 z_{x}^{\prime}-4=0
$$
进而可得：
$$
z_{x}^{\prime} = \left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(0,2)} = 1
$$
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