高等数学练习题 – 第 11 页

用乘除法连接的等价无穷小可以采取“逐个击破”的方式计算

题目 02

$$
I=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(e^{x^2}-1\right)(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})}{[\ln (1-x)+\ln (1+x)] \sin \frac{x}{1+x}}
$$

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解析 02

本题和上一题的求解思路类似，原式中用乘法或者除法连接的部分可以分开计算最后再合并计算，但对于用加法或者减法连接的部分，则要看作一个整体进行运算，不能拆分。

*

$$
e^{x^2} – 1 \sim \left(x^2\right)
$$

**

$$
\begin{aligned}
\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x} \\ \\
& = (1+x)^{\frac{1}{2}}-(1-x)^{\frac{1}{2}} \\ \\
& = e^{\frac{1}{2} \ln (1+x)}-e^{\frac{1}{2} \ln (1-x)} \\ \\
& = e^{\frac{1}{2} x}-e^{\frac{1}{2}(-x)} \\ \\
& = \left(e^{\frac{1}{2} x}-1\right)-\left(e^{\frac{1}{2}(-x)}-1\right) \\ \\
& = \frac{1}{2} x+\frac{1}{2} x \\ \\
& = x
\end{aligned}
$$

***

$$
\begin{aligned}
\ln (1-x)+\ln (1+x) \\ \\
& = \ln (1-x)(1+x) \\ \\
& = \ln \left(1-x^2\right) \\ \\
& = -x^2
\end{aligned}
$$

或者：

$$
\begin{aligned}
\ln (1-x)+\ln (1+x) \\ \\
& = -[(-x-\ln (1-x))+(x-\ln (1+x)] \\ \\
& = -\left[\frac{1}{2}(-x)^2+\frac{1}{2} x^2\right] \\ \\
& = -x^2
\end{aligned}
$$

****

$$
\sin \frac{x}{1+x} = \left(\frac{x}{1+x}\right)
$$

合并

$$
\begin{aligned}
I \\ \\
& = \frac{x^2 \cdot x}{-x^2 \cdot \frac{x}{1+x}} \\ \\
& = \frac{x^3}{\frac{-x^3}{1+x}} \\ \\
& = x^3 \cdot \frac{1+x}{-x^3} \\ \\
& = -(1+0) \\ \\
& = \textcolor{springgreen}{-1}
\end{aligned}
$$

高等数学

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线性代数

以独特的视角解析线性代数，让繁复的知识变得直观明了。

特别专题

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函数二变一：这样的函数复合运算的题目你一定要会哦

一、题目

已知 $g(x)$ $=$ $\begin{cases}
2-x, & x \leqslant 0 \\
2+x, & x>0
\end{cases}$, $f(x)$ $=$ $\begin{cases}
x^2, & x<0 \\
-x, & x \geqslant 0
\end{cases}$, 则：

$$
\lim _{x \rightarrow 0} g[f(x)]=?
$$

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当不知道抽象函数在某点处的可导性时，只能用一点处导数的定义求解该函数在指定点处的导数值

一、题目

设 $f ( x )$ $=$ $\left( x ^ { 2025 } – 1 \right) g ( x )$, 其中 $g ( x )$ 在 $x$ $=$ $1$ 处连续，且 $g ( 1 )$ $=$ $1$, 则 $f^{ \prime } ( 1 )$ $=$ $?$

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你能看出来这个变限积分无法直接求导吗？

一、题目

设 $y$ $=$ $y ( x )$ 由 $\begin{cases} x = \int _ { 0 } ^ { t } 2 \mathrm { e } ^ { – u ^ { 2 } } \mathrm { ~ d } u \\ \\ y = \int _ { 0 } ^ { t } \sin ( t – u ) \mathrm { d } u \end{cases}$ 确定，则 $y$ $=$ $y ( x )$ 在 $t$ $=$ $0$ 对应点处的曲率是多少？

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这个旋转体是个“甜甜圈”！你会求这个甜甜圈的体积吗？

一、题目

已知，区域 $D$ $=$ $\left\{ ( x , y ) \mid ( x – 2 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leqslant 1 \right\}$, 则 $D$ 绕 $Y$ 轴旋转一周所得旋转体的体积是多少？

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混合偏导数与次序无关的前提是：混合偏导数连续

题目

己知 $f ( x )$ 具有一阶连读导数, 且 $\left[ f ( x ) – e ^ { x } \right] \sin y \mathrm{~d} x$ $-$ $f ( x ) \cos y \mathrm{~d} y$ 是二元函数 $u(x, y)$ 的全微分，则这个二元函数 $u(x, y)$ 是否具有二阶连续偏导数？

解析

首先，由题目可知：

$$
\begin{aligned}
\frac { \partial u } { \partial x } & = \left[ f ( x ) – e ^ { x } \right] \sin y \\ \\
\frac { \partial u } { \partial y } & = – f ( x ) \cos y
\end{aligned}
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
\frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x \partial y } & = \left[ \textcolor{orangered}{ f ( x ) } – e ^ { x } \right] \cos y \\ \\
\frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial y \partial ^ { x } } & = – \textcolor{orangered}{ f ^ { \prime } ( x ) } \cos y
\end{aligned}
$$

由于 $\frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x \partial y }$ 和 $\frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial y \partial x }$ 分别由 $f(x)$ 和其一阶导 $f ^{\prime} (x)$ 以及连续的初等函数，通过四则运算组成，因此，二阶偏导数 $\frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x \partial y }$ 和 $\frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial y \partial x }$ 的连续性，就取决于 $f(x)$ 和 $f ^{\prime} (x)$ 的连续性。

又由于 $f ^{\prime} (x)$ 连续，因此，$f ^{\prime} (x)$ 存在，也就是说 $f(x)$ 可导，根据“可导必连续”的定理可知，$f(x)$ 也连续。

综上，二元函数 $u(x, y)$ 的二阶偏导数 $\frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x \partial y }$ 和 $\frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial y \partial x }$ 分别都是连续的，因此，下式也成立：

$$
\frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x \partial y } = \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial y \partial x }
$$

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在实际的考试中，我们没必要把矩阵化简得这么“彻底”再去求未知数

一、题目

已知，向量组 $\boldsymbol { \alpha } _ { 1 } = ( 1 , 1 , a ) ^ { \mathrm { T } }$ , $\boldsymbol { \alpha } _ { 2 } = ( 1 , – 2 , b ) ^ { \mathrm { T } }$ , $\boldsymbol { \alpha } _ { 3 } = ( – 2 , 1 , c ) ^ { \mathrm { T } }$ 的秩为 $a$, 若 $\boldsymbol { \beta } = ( 1 , 2 , 0 ) ^ { \top }$ 可由 $\boldsymbol { \alpha } _ { 1 }$, $\boldsymbol { \alpha } _ { 2 }$, $\boldsymbol { \alpha } _ { 3 }$ 线性表示，且表示法不唯一, 则 $\begin{cases}
a = ? \\ b = ?
\end{cases}$

A. $a = 2$, $b = 8$, $c = 1 0$

B. $a = 2$, $b = 8$, $c = -1 0$

C. $a = 1$, $b = – 8$, $c = 1 0$

D. $a = 1$, $b = – 8$, $c = – 1 0$

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对题目的等价转化往往就是解题的突破口

一、题目

若方程 $\tan x = a x$ 在 $\left( 0 , \frac { \pi } { 4 } \right)$ 内有实根，则常数 $a$ 的取值范围是多少？

(A). $0 < a < \frac { 4 } { \pi }$

(B). $1 < a < \frac { \pi } { 4 }$

(C). $1 < a < \frac { 4 } { \pi }$

(D). $0 < a < \frac { \pi } { 4 }$

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一点处连续与存在的区别：连续性要考虑“邻居”，存在性只需要考虑“自己”

一、题目

已知，函数 $f(x)$ $=$ $\ln \left(1+x^{\frac{2}{3}}\right)$ $-$ $x^{\frac{2}{3}}$, 则下面说法正确的是哪一个？

(A). $f^{\prime}(0)$ 不存在, $f^{\prime \prime}(0)$ 不存在

(B). $f^{\prime}(0)$ 存在, $f^{\prime \prime}(0)$ 存在

(C). $f^{\prime}(0)$ 存在, $f^{\prime \prime}(0)$ 不存在

(D). $f^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处不连续

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解题的突破口一般就是尝试增加式子的一致性，降低式子的复杂度

一、题目

请问，$x \rightarrow 0$ 时, $f(x)$ $=$ $3 x$ $-$ $4 \sin x$ $+$ $\sin x \cos x$ 是关于 $x$ 的多少阶无穷小？

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遇到这样的式子，且题目中提到了导数的话，一定要考虑能否用一点处导数的定义公式

一、题目

已知 $F(x)$ $=$ $\begin{cases}\frac{f(x)}{x}, & x \neq 0, \ f(0), & x=0,\end{cases}$ 其中 $f(x)$ 在 $x$ $=$ $0$ 处可导. 且 $f^{\prime}(0)$ $\neq$ $0$, $f(0)$ $=$ $0$, 则 ( )

(A). $x$ $=$ $0$ 是 $F(x)$ 的连续点

(B). $x$ $=$ $0$ 是 $F(x)$ 的第一类间断点

(C). $x$ $=$ $0$ 是 $F(x)$ 的第二类间断点

(D). 以上说法都不对

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微分方程和洛必达运算的结合

一、题目

已知 $y$ $=$ $y(x)$ 是方程 $y^{\prime \prime}$ $+$ $2 y^{\prime}$ $+$ $y$ $=$ $\mathrm{e}^{3 x}$ 的解, 且满足 $y(0)$ $=$ $y^{\prime}(0)$ $=$ $0$.

则当 $x \rightarrow 0$时, 与 $y(x)$ 为等价无穷小的是 ( )

(A). $\sin x^{2}$

(B). $\sin x$

(C). $\ln \sqrt{1+x^{2}}$

(D). $\ln \left(1+x^{2}\right)$

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阶数越高的无穷小越小，阶数越大的无穷大越大

一、题目

已知，当 $x \rightarrow 0$ 时：

$$
\begin{aligned}
\alpha(x) & = \tan x-\sin x \\ \\
\beta(x) & = \sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{1-x^{2}} \\ \\
\gamma(x) & = \int_{0}^{1-\cos x} \sin t \mathrm{~d} t
\end{aligned}
$$

都是无穷小，将它们关于 $x$ 的阶数从低到高排列，正确的顺序为（）

(A). $\alpha(x)$, $\beta(x)$, $\gamma(x)$

(B). $\alpha(x)$, $\gamma(x)$, $\beta(x)$

(C). $\beta(x)$, $\alpha(x)$, $\gamma(x)$

(D). $\gamma(x)$, $\alpha(x)$, $\beta(x)$

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分段函数求不定积分的两种常用方法：不定积分法和变上限积分法

一、题目

已知 $f(x)$ $=$ $\max \left\{1, x^{2}\right\}$ ，则 $\int f(x) \mathrm{~d} x$ $=$ $?$

(A). $\begin{cases}
\frac{x^{3}}{3}+C, & x<-1 \\ x+C, & -1 \leq x \leq 1 \\\ \frac{x^{3}}{3}+C, & x>1
\end{cases}$

(B). $\begin{cases}
x^{3} – \frac{2}{3}+\mathrm{C}, & x<-1 \\\ x+\mathrm{C}, & -1 \leq x \leq 1 \\\ \frac{x^{3}}{3}+\frac{2}{3}+\mathrm{C}, & x>1
\end{cases}$

(C). $\begin{cases}
\frac{x^{3}}{3}+C_{1}, & x<-1 \\\ x+C\_{2}, & -1 \leq x \leq 1 \\\ \frac{x^{3}}{3}+C\_{3}, & x>1
\end{cases}$

(D). $\begin{cases}
x^{3} – \frac{4}{3}+\mathrm{C}, & x<-1 \\\ x+\mathrm{C}, & -1 \leq x \leq 1 \\\ \frac{x^{3}}{3}+\frac{2}{3}+\mathrm{C}, & x>1
\end{cases}$

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能用等号连接的条件就是“充要”条件

一、题目

$I$ $=$ $\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{\mathrm{e}^{\sin \frac{1}{x}}-1}{\left(1+\frac{1}{x}\right)^{k}-\left(1+\frac{1}{x}\right)}$ $=$ $a$ $\neq$ $0$ 成立的充要条件是 ( )

(A). $k \neq 1$

(B). $k>1$

(C). $k>0$

(D). 与 $k$ 无关

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