高等数学基础 – 第 48 页

问题

$\sec x$ 的求导公式是什么？

选项

[A]. $(\sec x)’$ $=$ $\csc x \cdot \tan x$

[B]. $(\sec x)’$ $=$ $\sec x – \tan x$

[C]. $(\sec x)’$ $=$ $\sec x \cdot \tan x$

[D]. $(\sec x)’$ $=$ $\csc x + \tan x$

答案

$(\sec x)’$ $=$ $(\frac{1}{\cos})’$ $=$ $\sec x \cdot \tan x$

辅助图像：

sec x 的求导公式-高等数学-荒原之梦 — 图 01. 红色曲线表示本题中原函数的图像，蓝色曲线表示本题中原函数的导函数图像.

基本求导公式：

问题

$\cot x$ 的求导公式是什么？

选项

[A]. $(\cot x)’$ $=$ $- \sec^{2} x$

[B]. $(\cot x)’$ $=$ $\csc^{2} x$

[C]. $(\cot x)’$ $=$ $- \csc^{2} x$

[D]. $(\cot x)’$ $=$ $\sec^{2} x$

答案

$(\cot x)’$ $=$ $- \csc^{2} x$ $=$ $-(\frac{1}{\sin x})^{2}$

辅助图像：

cot x 的求导公式-高等数学-荒原之梦 — 图 01. 红色曲线表示本题中原函数的图像，蓝色曲线表示本题中原函数的导函数图像.

基本求导公式：

问题

$\tan x$ 的求导公式是什么？

选项

[A]. $(\tan x)’$ $=$ $\csc^{2} x$

[B]. $(\tan x)’$ $=$ $\sec x$

[C]. $(\tan x)’$ $=$ $\sec^{2} x$

[D]. $(\tan x)’$ $=$ $\csc x$

答案

$(\tan x)’$ $=$ $\sec^{2} x$ $=$ $(\frac{1}{\cos x})^{2}$

辅助图像：

tan x 的求导公式-高等数学-荒原之梦 — 图 01. 红色曲线表示本题中原函数的图像，蓝色曲线表示本题中原函数的导函数图像.

基本求导公式：

问题

$\cos x$ 的求导公式是什么？

选项

[A]. $(\cos x)’$ $=$ $- \cos x$

[B]. $(\cos x)’$ $=$ $\cos x$

[C]. $(\cos x)’$ $=$ $\sin x$

[D]. $(\cos x)’$ $=$ $- \sin x$

答案

$(\cos x)’$ $=$ $- \sin x$

辅助图像：

cos x 的求导公式-高等数学-荒原之梦 — 图 01. 红色曲线表示本题中原函数的图像，蓝色曲线表示本题中原函数的导函数图像.

基本求导公式：

问题

$\sin x$ 的导数是什么？

选项

[A]. $(\sin x)’$ $=$ $- \sin x$

[B]. $(\sin x)’$ $=$ $- \cos x$

[C]. $(\sin x)’$ $=$ $\sin x$

[D]. $(\sin x)’$ $=$ $\cos x$

答案

$(\sin x)’$ $=$ $\cos x$

辅助图像：

sin x 的求导公式-高等数学-荒原之梦 — 图 01. 红色曲线表示本题中原函数的图像，蓝色曲线表示本题中原函数的导函数图像.

基本求导公式：

问题

$x^{\alpha}$ 的导数是什么？
其中，$\alpha$ 为常数.

选项

[A]. $(x^{\alpha})’$ $=$ $\alpha x^{\alpha}$

[B]. $(x^{\alpha})’$ $=$ $\alpha x^{\alpha + 1}$

[C]. $(x^{\alpha})’$ $=$ $\alpha x^{\alpha – 1}$

[D]. $(x^{\alpha})’$ $=$ $(\alpha – 1)$ $x^{\alpha}$

答案

$(x^{\alpha})’$ $=$ $\alpha x^{\alpha – 1}$

辅助图像：

x^{\alpha} 的求导公式-高等数学-荒原之梦 — 图 01. 当 $\alpha$ $=$ $3$ 时，红色曲线表示本题中原函数的图像，蓝色曲线表示本题中原函数的导函数图像.

基本求导公式：

问题

常数 $C$ 的导数是什么？

选项

[A]. $C’$ $=$ $-1$

[B]. $C’$ $=$ $1$

[C]. $C’$ $=$ $0$

[D]. $C’$ $=$ $\infty$

答案

$C’$ $=$ $0$

辅助图像：

常数 C 的求导公式-高等数学-荒原之梦 — 图 01. 当 $C$ $=$ $2$ 时，红色曲线表示本题中原函数的图像，蓝色曲线表示本题中原函数的导函数图像.

基本求导公式：

问题

已知 $a$ $=$ $a(x)$ $\neq$ $0$, $b$ $=$ $b(x)$ 且均可导，则【$(\frac{b}{a})’$ $=$ $?$】

选项

[A]. $\frac{ba’ – b’a}{a^{2}}$

[B]. $\frac{b’a + ba’}{a^{2}}$

[C]. $\frac{b’a – ba’}{a}$

[D]. $\frac{b’a – ba’}{a^{2}}$

答案

$(\frac{b}{a})’$ $=$ $\frac{b’a – ba’}{a^{2}}$, $a$ $\neq$ $0$.
特别的，当 $c$ 为常数的时候，有：$(\frac{c}{a})’$ $=$ $\frac{-a’c}{a^{2}}$

导数的运算法则：

加减法

乘法

除法

问题

已知 $a$ $=$ $a(x)$, $b$ $=$ $b(x)$ 且均可导，则【$(a \times b)’$ $=$ $?$】

选项

[A]. $a’ \times b$ $+$ $a \times b’$

[B]. $a \times b’$ $-$ $a’ \times b$

[C]. $a’ \times b’$ $+$ $a \times b$

[D]. $a’ \times b$ $-$ $a \times b’$

答案

$(a \times b)’$ $=$ $a’ \times b$ $+$ $a \times b’$
简单写法：$(a b)’$ $=$ $a’ b$ $+$ $a b’$

导数的运算法则：

加减法

乘法

除法

问题

已知 $a$ $=$ $a(x)$, $b$ $=$ $b(x)$ 且均可导，则【$(a \pm b)’$ $=$ $?$】

选项

[A]. $a$ $\pm$ $b$

[B]. $a’$ $\mp$ $b’$

[C]. $a’$ $\pm$ $b’$

[D]. $a$ $\mp$ $b$

答案

$(a \pm b)’$ $=$ $a’$ $\pm$ $b’$

导数的运算法则：

加减法

乘法

除法

问题

以下哪个选项是微分所体现的数学思想？

选项

[A]. 化多为少

[B]. 以曲代直

[C]. 化直为曲

[D]. 以直代曲

答案

微分体现了【以直代曲】的数学思想.

问题

导数（导函数）的【数学意义】是什么？

选项

[A]. 平均变化率

[B]. 瞬时变化率

[C]. 导数变化率

[D]. 峰值变化率

答案

导数（导函数）的数学意义是瞬时变化率.

问题

关于函数可导与函数连续之间的关系，以下哪些选项是正确的？

选项

[A]. 连续一定可导

[B]. 可导必连续

[C]. 可导不一定连续

[D]. 不连续一定不可导

答案

函数可导与连续之间的关系如下：
1. 可导必连续;
2. 不连续一定不可导
3. 连续不一定可导.

问题

与切线垂直的线为法线，那么，以下哪个选项是通过导数计算【法线方程】的正确公式？
设原方程为 $f(x)$, 导数为 $f'(x)$, 要计算的是该函数在点 $x_{0}$ 处的法线方程.

选项

[A]. $f(x)$ $-$ $f(x_{0})$ $=$ $\frac{-1}{f'(x_{0})}$ $\cdot$ $(x – x_{0})$

[B]. $f(x)$ $-$ $f(x_{0})$ $=$ $\frac{1}{f'(x_{0})}$ $\cdot$ $(x + x_{0})$

[C]. $f(x)$ $-$ $f(x_{0})$ $=$ $\frac{1}{f'(x_{0})}$ $\cdot$ $(x – x_{0})$

[D]. $f(x)$ $-$ $f(x_{0})$ $=$ $\frac{-1}{f'(x_{0})}$ $\cdot$ $(x + x_{0})$

答案

$f(x)$ $-$ $f(x_{0})$ $=$ $\frac{-1}{f'(x_{0})}$ $\cdot$ $(x – x_{0})$