二元函数二重极限和累次极限习题（02）

一、题目

计算并判断下面的函数在点 $\left(0, 0\right)$ 处的二重极限和累次极限：

$$
f\left(x, y\right) = x \sin \frac{1}{y}
$$

二、解析

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 函数 $f\left(x,y\right)=x\sin\frac{1}{y}$ 在 $\left(0,0\right)$ 处的二重极限（存在）：

首先，对任意 $\left( x, y \right) \in D$，由于 $\left\lvert \sin t \right\rvert \leqslant 1$, 因此：

$$
\left\lvert x \sin \frac{1}{y} \right\rvert
\leqslant \left\lvert x \right\rvert \tag{1}
$$

又根据《柯西–施瓦茨不等式的一个特例及其证明》，可知：

$$
\left\lvert x \right\rvert \leqslant \sqrt{x^{2} + y^{2}} \tag{2}
$$

所以，结合上面的 $(1)$ 式和 $(2)$ 式，可知：

$$
\left\lvert x \sin \frac{1}{y} \right\rvert
\leqslant\sqrt{x^{2}+y^{2}}
$$

接着，给定任意 $\varepsilon > 0$, 取 $\delta=\varepsilon$, 则当 $\left(x,y\right) \in D$ 且
$0<\sqrt{x^{2}+y^{2}} < \delta$ 时，便有：

$$
\left\lvert x \sin \frac{1}{y}-0\right\rvert = \left\lvert x \sin \frac{1}{y}\right\rvert
\leqslant\sqrt{x^{2}+y^{2}} < \delta = \varepsilon
$$

由于 $\varepsilon$ 可以任意小，因此，下式的极限存在：

$$
\lim\limits_{\left(x,y\right)\to\left(0,0\right)}
x\sin\frac{1}{y} = 0
$$

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 函数 $f\left(x,y\right)=x\sin\frac{1}{y}$ 在 $\left(0,0\right)$ 处的累次极限（其中之一存在）：

$\textcolor{orange}{\blacktriangleright}$ 对于 $\lim_{y \to 0} \lim_{x \to 0} f \left( x, y \right)$:

对任意固定的 $y \neq 0$, $\sin \frac{1}{y}$ 是常数，因此：

$$
\lim\limits_{x \to 0}x\sin\frac{1}{y} = 0
$$

于是，下式的极限存在：

$$
\lim\limits_{y\to 0} \left( \lim\limits_{x\to 0}x\sin\frac{1}{y} \right) = \lim\limits_{y\to 0}0 = 0
$$

$\textcolor{orange}{\blacktriangleright}$ 对于 $\lim_{x \to 0} \lim_{y \to 0} f \left( x, y \right)$:

固定 $x\neq 0$, 取两列趋于 $0$ 的数：

$$
y_{n} = \frac{1}{\frac{\pi}{2} + 2 \pi n}, \qquad z_{n} = \frac{1}{\frac{3\pi}{2} + 2 \pi n}
$$

则可知：

$$
y_{n}\to 0, \qquad z_{n} \to 0
$$

并且：

$$
\sin\frac{1}{y_{n}} = 1, \qquad \sin\frac{1}{z_{n}} = -1
$$

因此：

$$
f\left(x,y_{n}\right) = x, \qquad f\left(x,z_{n}\right) = -x
$$

综上可知，当 $x \neq 0$ 时，下式的极限不存在：

$$
\lim\limits_{y \to 0} x \sin \frac{1}{y}
$$

三、三维函数图象

函数 $f\left(x, y\right) = x \sin \frac{1}{y}$ 的三维函数图象如下：

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