线性代数基础归档 - 第6页共20页

$n$ $+$ $1$ 个 $n$ 维向量的性质（C016）

问题

根据向量组线性相关的性质，对于

n + 1

个

n

维向量而言，以下结论中，正确的是哪个？

选项

[A]. 一定线性无关

[B]. 一定线性相关

[C]. 可能线性无关

[D]. 可能线性相关

答案

$n + 1$ 个 $n$ 维向量一定线性相关

$n$ 个线性相关的 $n$ 维向量的性质（C016）

问题

已知，

n

个

n

维向量

α_{1}

α_{2}

\dots

α_{n}

线性相关，则行列式

| α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n} |

具有什么特点？

选项

[A].

| α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n} |

\neq

0

[B].

| α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n} |

=

0

[C].

| α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n} |

>

1

[D].

| α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n} |

>

0

答案

$| α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n} |$ $=$ $0$

向量组线性相关的充要条件：所形成的矩阵的秩（C016）

问题

若向量组

α_{1}

α_{2}

\dots

α_{m}

线性相关，则以下关于

r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m})

的结论中，正确的是哪个？

选项

[A].

r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m})

=

m

[B].

r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m})

<

m

[C].

r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m})

⩾

m

[D].

r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m})

⩽

m

答案

向量组 $α_{1}$ , $α_{2}$ , $\dots$ , $α_{m}$ 线性相关
$\Leftrightarrow$
$r (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m})$ $<$ $m$

向量组线性相关的充要条件：齐次线性方程组的解（C016）

问题

若向量组

α_{1}

α_{2}

\dots

α_{m}

线性相关，则对应的齐次线性方程组

x_{1} α_{1}

+

x_{2} α_{2}

+

\dots

+

x_{m} α_{m}

=

(α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m})

(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{m} \end{matrix})

=

0

的解应该具有什么特征？

选项

[A]. 无解

[B]. 只有零解

[C]. 有非零解

[D]. 有实数解

答案

向量组 $α_{1}$ , $α_{2}$ , $\dots$ , $α_{m}$ 线性相关
$\Leftrightarrow$
对应的齐次线性方程组有非零解

向量组线性相关的充要条件：向量间的线性表示（C016）

问题

若向量组

α_{1}

α_{2}

\dots

α_{m}

线性相关，则以下说法正确的是哪个？

选项

[A]. 不存在任何一个可由其余向量线性表示的向量

[B]. 任意一个向量都可由其余向量线性表示

[C]. 只能存在一个向量可由其余向量线性表示

[D]. 至少存在一个向量可由其余向量线性表示

答案

向量组 $α_{1}$ , $α_{2}$ , $\dots$ , $α_{m}$ 线性相关
$\Leftrightarrow$
至少存在一个向量可由其余向量线性表示

两个向量线性相关的特征：几何意义（C015）

问题

已知，有两个向量

α_{1}

和

α_{2}

是线性相关的，则在几何意义上，这两个向量是否共线？

选项

[A]. 不确定

[B]. 不是

[C]. 是

答案

是

$α_{1}$ 和 $α_{2}$ 线性相关 $\Leftrightarrow$ $α_{1}$ 和 $α_{2}$ 共线

两个向量线性相关的特征：分量（C015）

问题

已知，有两个向量

α_{1}

和

α_{2}

是线性相关的，则这两个向量对应的分量是否成比例？

选项

[A]. 不是

[B]. 是

[C]. 不确定

答案

是

$α_{1}$ 和 $α_{2}$ 线性相关 $\Leftrightarrow$ 对应的分量成比例

单个非零向量的线性相关性（C015）

问题

根据向量线性相关性的定义，非零向量

(1, 1, 0)

或者

(1, 2, 3)^{⊤}

是否是线性相关的？

选项

[A]. 不确定

[B]. 是

[C]. 不是

答案

不是。

由定义可知，单个非零向量是线性无关的。

单个零向量的线性相关性（C015）

问题

根据向量线性相关性的定义，零向量

(0, 0, 0)

或者

(0, 0, 0)^{⊤}

是否是线性无关的？

选项

[A]. 不是

[B]. 不确定

[C]. 是

答案

不是。

由定义可知，单个零向量是线性相关的。

向量组线性无关的三种表述方法

一、前言

对于向量组 $A :$ $α_{1}$ , $α_{2}$ , $\dots$ , $α_{m}$ 而言，如果该向量组线性无关，则可以有如下三种表述方法：

继续阅读

向量组线性无关的定义（C015）

问题

已知，存在定向量组

A :

α_{1}

α_{2}

\dots

α_{m}

, 以及实数

k_{1}

k_{2}

\dots

k_{m}

且有如下等式：
$k_{1} α_{1}$ $+$ $k_{2} α_{2}$ $+$ $\dots$ $+$ $k_{m} α_{m}$ $=$ $0$ .

那么，当实数 $k_{1}$ , $k_{2}$ , $\dots$ , $k_{m}$ 满足什么条件时，可以说明向量组 $A :$ $α_{1}$ , $α_{2}$ , $\dots$ , $α_{m}$ 是线性无关的？

选项

[A].

k_{1}

k_{2}

\dots

k_{m}

不全为

0

[B].

k_{1}

k_{2}

\dots

k_{m}

全为

0

[C].

k_{1}

k_{2}

\dots

k_{m}

全部大于或等于

0

[D].

k_{1}

k_{2}

\dots

k_{m}

不全为负数

答案

$k_{1}$ , $k_{2}$ , $\dots$ , $k_{m}$ 全为 $0$

向量组线性相关的定义（C015）

问题

已知，存在定向量组

A :

α_{1}

α_{2}

\dots

α_{m}

, 以及实数

k_{1}

k_{2}

\dots

k_{m}

且有如下等式：
$k_{1} α_{1}$ $+$ $k_{2} α_{2}$ $+$ $\dots$ $+$ $k_{m} α_{m}$ $=$ $0$ .

那么，当实数 $k_{1}$ , $k_{2}$ , $\dots$ , $k_{m}$ 满足什么条件时，可以说明向量组 $A :$ $α_{1}$ , $α_{2}$ , $\dots$ , $α_{m}$ 是线性相关的？

选项

[A].

k_{1}

k_{2}

\dots

k_{m}

不全为

0

[B].

k_{1}

k_{2}

\dots

k_{m}

全部大于或等于

0

[C].

k_{1}

k_{2}

\dots

k_{m}

不全为负数

[D].

k_{1}

k_{2}

\dots

k_{m}

全为

0

答案

$k_{1}$ , $k_{2}$ , $\dots$ , $k_{m}$ 不全为 $0$

向量组的等价（C014）

问题

根据向量组等价的定义，下面的说法是否正确：

如果向量组 $A$ 能线性表示向量组 $B$ , 则这两个向量组等价。

选项

[A]. 无法确定

[B]. 正确

[C]. 不正确

答案

题干中的说法不正确。

正确的表述如下：

如果向量组 $A$ 与向量组 $B$ 能互相线性表示，则称这两个向量组等价。

向量组与向量组之间的线性表示（C014）

问题

下面的说法是否正确：

有两个向量组 $A :$ $α_{1}$ , $α_{2}$ , $\dots$ , $α_{m}$ 和 $B :$ $β_{1}$ , $β_{2}$ , $\dots$ , $β_{s}$ , 如果向量组 $B$ 中存在能由向量组 $A$ 线性表示的向量, 则称向量组 $B$ 能由向量组 $A$ 线性表示。

选项

[A]. 正确

[B]. 不正确

[C]. 无法判断

答案

题干中的说法不正确。

正确的说法如下：

如果向量组 $B$ 中的每个向量都能由向量组 $A$ 线性表示, 则称向量组 $B$ 能由向量组 $A$ 线性表示。

向量和向量组之间的线性表示（C014）

问题

已知，有向量组

α_{1}

α_{2}

\dots

α_{m}

和向量

β

, 如果存在一组数

k_{1}, k_{2}, \dots

k_{m}

, 使下面哪个式子成立，就可以说明向量

β

能由向量组

α_{1}

α_{2}

\dots

α_{m}

线性表示（线性表出）？

选项

[A].

β

>

k_{1} α_{1}

+

k_{2} α_{2}

+

\dots

+

k_{m} α_{m}

[B].

β

<

k_{1} α_{1}

+

k_{2} α_{2}

+

\dots

+

k_{m} α_{m}

[C].

β

=

k_{1} α_{1}

\times

k_{2} α_{2}

\times

\dots

\times

k_{m} α_{m}

[D].

β

=

k_{1} α_{1}

+

k_{2} α_{2}

+

\dots

+

k_{m} α_{m}

答案

$β$ $=$ $k_{1} α_{1}$ $+$ $k_{2} α_{2}$ $+$ $\dots$ $+$ $k_{m} α_{m}$