标签： 高等数学基础

一、题目

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{1}^{n} + a_{2}^{n} + \cdots + a_{m}^{n}} = ?
$$

其中 $a_{i}$ $>$ $0$ $($ $i$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$, $m$ $)$.

难度评级：

一、题目

$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1 + x^{n} + (\frac{x^{2}}{2})^{n}} = ?
$$

其中，$x$ $>$ $0$.

对变量取值范围的讨论是解答本题的重点，详情见下文……

难度评级：

一、题目

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1 + 2^{n} + 3^{n}} = ?
$$

本题可以使用夹逼准则解出，下文中会介绍使用夹逼准则时一个重要的放缩原则和思路。

难度评级：

一、题目

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} ( x + \sqrt{1 + x^{2}} )^{\frac{1}{x}} = ?
$$

难度评级：

一、前言

在高等数学中，有些公式在本质上是有联系的，如果我们在掌握了这种联系的基础上理解这些公式，就能记忆得更加牢固。

在本文中，荒原之梦网（zhaokaifeng.com）就利用公式间的关联关系分析如何记忆 $e^{x}$ $-$ $1$ 和 $a^{x}$ $-$ $1$ 的等价无穷小。

一、题目

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \Big( \frac{\sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b} + \sqrt[n]{c}}{3} \Big)^{n} = ?
$$

其中，$a$ $>$ $0$, $b$ $>$ $0$, $c$ $>$ $0$.

难度评级：

一、题目

$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{n + 1}}{(n + 1)^{n}} \cdot \sin \frac{1}{n} = ?
$$

难度评级：

一、题目

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \Big[ \frac{x^{2}}{(x – a) (x + b)} \Big]^{x} = ?
$$

难度评级：

一、前言

数列极限的定义中是存在“潜规则”的，明白这些潜规则可以让我们对数列极限的理解更加明了。

一、题目

证明下面的函数是奇函数：

$$
y = \frac{e^{x} – 1}{e^{x} + 1}
$$

难度评级：

一、题目

证明下面的函数是奇函数：

$$
y = \ln ( x + \sqrt{1+x^{2}} )
$$

难度评级：

一、题目

证明下面的函数是奇函数：

$$
y = \ln \frac{1-x}{1+x}
$$

难度评级：

一、前言

简单地说，有理数就是可以写成两个整数比值形式的数，而无理数就是不能写成两个整数比值形式的数。

一、题目

$y$ $=$ $\frac{e^{x} – e^{-x}}{2}$ 的反函数是多少？

难度评级：