标签： 高等数学基础

$(x^{\alpha})’$ $=$ $\alpha x^{\alpha – 1}$

$C’$ $=$ $0$

$(\frac{b}{a})’$ $=$ $\frac{b’a – ba’}{a^{2}}$, $a$ $\neq$ $0$.
特别的，当 $c$ 为常数的时候，有：$(\frac{c}{a})’$ $=$ $\frac{-a’c}{a^{2}}$

$(a \times b)’$ $=$ $a’ \times b$ $+$ $a \times b’$
简单写法：$(a b)’$ $=$ $a’ b$ $+$ $a b’$

$(a \pm b)’$ $=$ $a’$ $\pm$ $b’$

微分体现了【以直代曲】的数学思想.

导数（导函数）的数学意义是瞬时变化率.

函数可导与连续之间的关系如下：
1. 可导必连续;
2. 不连续一定不可导
3. 连续不一定可导.

$f(x)$ $-$ $f(x_{0})$ $=$ $\frac{-1}{f'(x_{0})}$ $\cdot$ $(x – x_{0})$

$f(x)$ $-$ $f(x_{0})$ $=$ $f'(x_{0})$ $\cdot$ $(x – x_{0})$

$f'(x_{0})$ $=$ $A$ $\color{Red}{\Leftrightarrow}$ $f_{\color{Red}{+}}'(x_{0})$ $=$ $f_{\color{Red}{-}}'(x_{0})$ $=$ $A$
Tips: 左导 $=$ 右导，则可导.

$f_{\color{Red}{-}}^{\prime}(x_{0})$ $=$ $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{\color{Red}{-}}}$ $\frac{f(x) – f(x_{0})}{x – x_{0}}$

$f_{\color{Red}{+}}^{\prime}(x_{0})$ $=$ $\lim_{\Delta x \rightarrow 0^{\color{Red}{+}}}$ $\frac{f(x_{0} + \Delta x) – f(x_{0})}{\Delta x}$

$f_{\color{Red}{-}}^{‘}(x_{0})$ $=$ $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{\color{Red}{-}}}$ $\frac{f(x) – f(x_{0})}{x – x_{0}}$