证明：导函数连续则原函数一定可导

一、前言

在本文中，荒原之梦考研数学将证明“导函数连续，则原函数一定可导”这一定理。

二、正文

若函数 $f(x)$ 在某闭区间 $[a, b]$ 上连续，则其原函数可写为：

$$
F(x)=\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{~d} t
$$

由于被积函数 $f(t)$ 是连续的，因此，该积分函数 $F(x)$ 在区间 $x \in[a, b]$ 上一定存在。

接着，我们开始证明函数 $F(x)$ 在开区间 $(a, b)$ 上可导。

对于任意的 $x \in(a, b)$, 我们有：

$$
\begin{aligned}
F^{\prime}(x) \\ \\
& = \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{F(x+h)-F(x)}{h} \\ \\
& = \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{\int_{a}^{x+h} f(t) \mathrm{~d} t-\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{~d} t}{h} \\ \\
& = \textcolor{orangered}{\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{\int_{x}^{x+h} f(t) \mathrm{~d} t}{h}}
\end{aligned}
$$

根据积分中值定理，存在 $\xi \in (x, x+h)$, 使得（此时，$\xi \rightarrow x$）：

$$
\begin{aligned}
\textcolor{orangered}{\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{\int_{x}^{x+h} f(t) \mathrm{~d} t}{h}}
& =\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(\xi) \cdot h}{h} \\ \\
& =\lim \limits_{\substack{h \rightarrow 0 \\ \\
(\xi \rightarrow x)}} f(\xi) \\ \\
& = f(x)
\end{aligned}
$$

即：

$$
\textcolor{springgreen}{
F^{\prime} (x) = f(x)
}
$$

综上，我们首先通过函数 $f(x)$ 的连续性，判断出其一定可积并存在对应的积分函数，接着，又利用一点处导数存在的定义和积分中值定理，证明了等式 $\textcolor{springgreen}{F^{\prime} (x)}$ $\textcolor{springgreen}{=}$ $\textcolor{springgreen}{f(x)}$ 成立，因此，也就证明了“导函数连续，则原函数一定可导”这一结论。

注意将本文讨论的“导函数连续则原函数可导”，与函数本身的连续性和可导性区分开。

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