一、题目![题目 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/f68a9e590526998388b0f9b71bd5d3f73dda4ed9764819fe8f36488fa537e9b9499f465fd201d7c117b8901c3ad071915a34a688058a739ebc39835753a8d7cc.svg)
计算下面这个式子的值:
$$
\begin{aligned}
I \\ \\
& = \left( \frac{1}{3}x^{3} – \frac{1}{2}x^{2} \right) \Bigg|_{-4}^{0} – \left( \frac{1}{3}x^{3} – \frac{1}{2}x^{2} \right) \Bigg|_{0}^{1} + \left( \frac{1}{3}x^{3} – \frac{1}{2}x^{2} \right) \Bigg|_{1}^{4}
\end{aligned}
$$
难度评级:
二、解析 ![解析 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/6fff698aa5c66c6c7a143e3d2a00fa8ee7eab76be5360d89eb43a03143848e8cd60377c76bf830c93ec6603be5af661d9c52238834792ea548bf14de10b05ad9.svg)
本题就是一个计算题,但是,由于直接计算涉及的运算量较大,很容易产生计算错误。因此,在处理此类式子的计算问题时,我们要注意找到式子中有规律的部分,然后用整体替换的方式化繁为简,增加计算的清晰度和准确性。
首先,我们可以令:
$$
A(x) = \frac{1}{3}x^{3} – \frac{1}{2}x^{2}
$$
且易知:
$$
A(0) = 0
$$
于是:
$$
\begin{aligned}
I \\
& = A(0) – A(-4) – A(1) + A(0) + A(4) – A(1) \\
& = -2A(1) – A(-4) + A(4) \\
& = \frac{1}{3} – A(-4) + A(4)
\end{aligned}
$$
又由于 $\frac{1}{3}x^{3}$ 可以构造出奇函数,$\frac{1}{2}x^{2}$ 可以构造出偶函数,因此,可以令:
$$
B(x) = \frac{1}{3}x^{3}
$$
$$
C(x) = \frac{1}{2}x^{2}
$$
于是:
$$
\begin{aligned}
I \\
& = \frac{1}{3} – A(-4) + A(4) \\
& = \frac{1}{3} – [B(-4) – C(-4)] + [B(4) – C(4)] \\
& = \frac{1}{3} + [B(4) – B(-4)] – [C(-4) – C(4)]
\end{aligned}
$$
对于奇函数 $B(x)$ 而言,$B(4)$ $=$ $-B(-4)$, 对于偶函数 $C(x)$ 而言,$C(4) = C(-4)$, 于是:
$$
\begin{aligned}
I \\
& = \frac{1}{3} + [B(4) – B(-4)] – [C(-4) – C(4)] \\
& = \frac{1}{3} + 2B(4) – 0 \\
& = \frac{1}{3} + \frac{128}{3} \\
& = \frac{129}{3}
\end{aligned}
$$
高等数学![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容,图文并茂,计算过程清晰严谨。
线性代数![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
以独特的视角解析线性代数,让繁复的知识变得直观明了。
特别专题![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充,使所学知识更加连贯坚实。