计算复杂但有规律的式子，要学会化繁为简，使计算过程充分清晰

一、题目

计算下面这个式子的值：

$$
\begin{aligned}
I \\ \\
& = \left( \frac{1}{3}x^{3} – \frac{1}{2}x^{2} \right) \Bigg|_{-4}^{0} – \left( \frac{1}{3}x^{3} – \frac{1}{2}x^{2} \right) \Bigg|_{0}^{1} + \left( \frac{1}{3}x^{3} – \frac{1}{2}x^{2} \right) \Bigg|_{1}^{4}
\end{aligned}
$$

难度评级：

二、解析

本题就是一个计算题，但是，由于直接计算涉及的运算量较大，很容易产生计算错误。因此，在处理此类式子的计算问题时，我们要注意找到式子中有规律的部分，然后用整体替换的方式化繁为简，增加计算的清晰度和准确性。

首先，我们可以令：

$$
A(x) = \frac{1}{3}x^{3} – \frac{1}{2}x^{2}
$$

且易知：

$$
A(0) = 0
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
I \\
& = A(0) – A(-4) – A(1) + A(0) + A(4) – A(1) \\
& = -2A(1) – A(-4) + A(4) \\
& = \frac{1}{3} – A(-4) + A(4)
\end{aligned}
$$

又由于 $\frac{1}{3}x^{3}$ 可以构造出奇函数，$\frac{1}{2}x^{2}$ 可以构造出偶函数，因此，可以令：

$$
B(x) = \frac{1}{3}x^{3}
$$

$$
C(x) = \frac{1}{2}x^{2}
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
I \\
& = \frac{1}{3} – A(-4) + A(4) \\
& = \frac{1}{3} – [B(-4) – C(-4)] + [B(4) – C(4)] \\
& = \frac{1}{3} + [B(4) – B(-4)] – [C(-4) – C(4)]
\end{aligned}
$$

对于奇函数 $B(x)$ 而言，$B(4)$ $=$ $-B(-4)$, 对于偶函数 $C(x)$ 而言，$C(4) = C(-4)$, 于是：

$$
\begin{aligned}
I \\
& = \frac{1}{3} + [B(4) – B(-4)] – [C(-4) – C(4)] \\
& = \frac{1}{3} + 2B(4) – 0 \\
& = \frac{1}{3} + \frac{128}{3} \\
& = \frac{129}{3}
\end{aligned}
$$

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