一、题目
已知，积分区域 $D$ 是由曲线 $y=\sqrt{x}$, 直线 $y=1$ 及 $y$ 轴围成的，则：
$$
I = \iint_{D} \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y = ?
$$
标签： 考研数学二
三角函数套进其反三角函数——湮灭为一个变量
一、题目
已知积分区域 $A$ $=$ $\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \geqslant 1, x^{2}+y^{2} \leqslant 9, x \leqslant \sqrt{3} y, y \leqslant \sqrt{3} x\right \}$.
则：
$$
\iint_{D} \arctan \frac{y}{x} \mathrm{~d} \sigma = ?
$$
难度评级：
继续阅读“三角函数套进其反三角函数——湮灭为一个变量”解三角函数定积分时经常会用到分部积分法：在 sin 与 cos 之间转换
一、题目
已知积分区域 $D$ 由 $y=x$ 与 $y^{2}=x$ 围成，则：
$$
\iint_{D} \frac{\sin \pi y}{y} \mathrm{~d} \sigma = ?
$$
难度评级：
继续阅读“解三角函数定积分时经常会用到分部积分法：在 sin 与 cos 之间转换”当二重积分的积分区域不是圆形但被积函数和圆形有关时，也可以尝试使用极坐标系求解
一、题目
$$
I=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{y}^{1} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x = ?
$$
难度评级：
本题的计算步骤可以参考 这篇文章 。
继续阅读“当二重积分的积分区域不是圆形但被积函数和圆形有关时，也可以尝试使用极坐标系求解”一个关于三角函数 cos 求导的易错点
分段求解一重定积分：涉及三角函数和凑微分的一道例题
一、题目
已知：
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x \mathrm{e}^{-x^{2}}, & x \geqslant 0, \\ \frac{1}{1+\cos x}, & -1<x<0,\end{array}\right.
$$
则：
$$
I = \int_{1}^{4} f(x-2) \mathrm{d} x = ?
$$
难度评级：
继续阅读“分段求解一重定积分：涉及三角函数和凑微分的一道例题”换个角度，柳暗花明：交换积分次序
一、题目
$$
I = \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}}^{1} \frac{x y}{\sqrt{1+y^{3}}} \mathrm{~d} y = ?
$$
难度评级：
继续阅读“换个角度，柳暗花明：交换积分次序”当积分区域出现“圆形”时，就要考虑转换为极坐标系求解
一、题目
$$
I = \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{1-x}^{\sqrt{1-x^{2}}} \frac{x+y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y = ?
$$
难度评级：
继续阅读“当积分区域出现“圆形”时，就要考虑转换为极坐标系求解”当积分区域不是圆形时也可能可以转到极坐标求解积分，例如 这道题 。
交换极坐标系下二重积分的积分次序
一、题目
交换如下二重积分的积分次序：
$$
I = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{2 \cos \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r = ?
$$
难度评级：
继续阅读“交换极坐标系下二重积分的积分次序”圆的 3+1 种常用的极坐标方程
使用极坐标系简化二重积分的运算：升级版例题
一、题目
$$
I=
$$
$$
\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2} R} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y \int_{0}^{y} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x+\int_{\frac{\sqrt{2}}{2} R}^{R} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y \int_{0}^{\sqrt{R^{2}-y^{2}}} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x = ?
$$
难度评级：
继续阅读“使用极坐标系简化二重积分的运算：升级版例题”使用极坐标系简化二重积分的运算：基础版例题
一、题目
求解二重积分：
$$
\int_{0}^{2} \mathrm{d} x \int_{0}^{\sqrt{2 x-x^{2}}} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{d} y.
$$
难度评级：
继续阅读“使用极坐标系简化二重积分的运算：基础版例题”交换二重积分的积分次序：先交为下限，后交为上限
一、题目
交换 $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{x^{2}} f(x, y) \mathrm{d} y$ $+$ $\int_{1}^{3} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\frac{1}{2}(3-x)} f(x, y) \mathrm{d} y$ 的积分次序。
难度评级：
继续阅读“交换二重积分的积分次序：先交为下限，后交为上限”对二重积分交换积分次序的一个典型例题
一、题目
已知 $a>0$, 写出对二重积分 $\int_{0}^{a} \mathrm{~d} y \int_{0}^{\sqrt{a y}} f(x, y) \mathrm{d} x$ $+$ $\int_{a}^{2 a} \mathrm{~d} y \int_{0}^{2 a-y} f(x, y) \mathrm{d} x$ 交换积分次序后的新式子。
难度评级：
继续阅读“对二重积分交换积分次序的一个典型例题”求解二元隐函数的极值
一、题目
已知，隐函数 $z=z(x, y)>0$ 由方程式 $x^{2}$ $+$ $y^{2}$ $+$ $z^{2}$ $-$ $2 x$ $-$ $2 y$ $-$ $4 z$ $-$ $10$ $=$ $0$ 所确定，则 $z=z(x, y)$ 的极值是多少？
难度评级：
继续阅读“求解二元隐函数的极值”