一、题目![题目 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/f68a9e590526998388b0f9b71bd5d3f73dda4ed9764819fe8f36488fa537e9b9499f465fd201d7c117b8901c3ad071915a34a688058a739ebc39835753a8d7cc.svg)
已知:
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x \mathrm{e}^{-x^{2}}, & x \geqslant 0, \\ \frac{1}{1+\cos x}, & -1<x<0,\end{array}\right.
$$
则:
$$
I = \int_{1}^{4} f(x-2) \mathrm{d} x = ?
$$
难度评级:
二、解析 ![解析 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/6fff698aa5c66c6c7a143e3d2a00fa8ee7eab76be5360d89eb43a03143848e8cd60377c76bf830c93ec6603be5af661d9c52238834792ea548bf14de10b05ad9.svg)
令:
$$
t=x-2
$$
则:
$$
x = t + 2
$$
$$
\mathrm{d} x = \mathrm{d} t
$$
$$
x \in(1,4) \Rightarrow t \in(-1,2) \Rightarrow
$$
$$
t \in(-1,0) \cup(0,2)
$$
于是:
$$
\int_{1}^{4} f(x-2) \mathrm{d} x=\int_{-1}^{2} f(t) \mathrm{d} t \Rightarrow
$$
$$\int_{-1}^{0} \frac{1}{1+\cos t} \mathrm{d} t+\int_{0}^{2} t e^{-t^{2}} \mathrm{d} t.
$$
接着:
参考文章:
[1]. 《常用的三角函数求导公式汇总》
$$\cos 2 \alpha=2 \cos ^{2} \alpha-1 \Rightarrow
$$
$$
1+\cos 2 \alpha=2 \cos ^{2} 2 \Rightarrow
$$
$$
1+\cos ^{2} t=2 \cos ^{2} \frac{t}{2} \Rightarrow
$$
$$
\frac{1}{1+\cos t}=\frac{1}{2} \frac{1}{\cos ^{2} \frac{t}{2}} \Rightarrow
$$
$$
\frac{1}{2} \sec \frac{t}{2}=\frac{1}{2}\left(\tan \frac{t}{2}\right)_{t}^{\prime} \Rightarrow
$$
$$
\int_{-1}^{0} \frac{1}{1+\cos ^{2} t} \mathrm{d} t=\left.\frac{1}{2} \tan \frac{t}{2}\right|_{-1} ^{0}=\frac{1}{2}\left(0+\tan {\frac{1}{2}}\right)
$$
又:
$$
\int_{0}^{2} t e^{-t^{2}} \mathrm{d} t = \frac{-1}{2} \int_{0}^{2} e^{-t^{2}} \mathrm{d} \left(-t^{2}\right) \Rightarrow
$$
$$
\left.\frac{-1}{2} e^{-t^{2}}\right|_{0} ^{2}=\frac{-1}{2}\left(e^{-4}-1\right)
$$
综上可知:
$$
I = \frac{1}{2} \tan \frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2} e^{-4}
$$
高等数学![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
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线性代数![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
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特别专题![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
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