三角函数凑微分搭配分部积分：$\int$ $\frac{1}{{\cos }^{3}x}$ $\mathrm{d}x$

一、题目

$$\int \frac{1}{{\cos }^{3}x}\mathrm{d}x=?$$

难度评级：

本题在定积分上的一个应用示例：《当二重积分的积分区域不是圆形但被积函数和圆形有关时，也可以尝试使用极坐标系求解》

二、解析

首先，由于：

$$(\tan x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$$

Next

因此，我们可以有如下凑微分：

$$\int \frac{1}{{\cos }^{3}x}\mathrm{d}x=$$

$$\int \frac{1}{\cos x}\mathrm{d}(\tan x)=$$

$$\int \sec x\mathrm{d}(\tan x)\Rightarrow$$

Next

分部积分 $\Rightarrow$

$$\sec x\tan x–\int \tan x\mathrm{d}(\sec x)=$$

$$\sec x\tan x–\int \tan x\cdot \sec x\cdot \tan x\mathrm{d}x=$$

$$\sec x\tan x–\int {\tan }^{2}x\cdot \sec x\mathrm{d}x=$$

$$\sec x\tan x–\int \frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}\cdot \frac{1}{\cos x}\mathrm{d}x=$$

Next

$$\sec x\tan x–\int \frac{1–{\cos }^{2}x}{{\cos }^{3}x}\mathrm{d}x=$$

$$\sec x\tan x–\int \frac{1}{{\cos }^{3}x}\mathrm{d}x+\int \frac{{\cos }^{2}x}{{\cos }^{3}x}\mathrm{d}x=$$

$$\sec x\tan x–\int \frac{1}{{\cos }^{3}x}\mathrm{d}x+\int \frac{1}{\cos x}\mathrm{d}x=$$

$$\sec x\tan x–\int \frac{1}{{\cos }^{3}x}\mathrm{d}x+\int \sec x\mathrm{d}x\Rightarrow$$

Next

$$\int \frac{1}{{\cos }^{3}x}\mathrm{d}x=\sec x\tan x–\int \frac{1}{{\cos }^{3}x}\mathrm{d}x+\int \sec x\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$$2\int \frac{1}{{\cos }^{3}x}\mathrm{d}x=\sec x\tan x+\int \sec x\mathrm{d}x\Rightarrow$$

Next

$$2\int \frac{1}{{\cos }^{3}x}\mathrm{d}x=\sec x\tan x+\ln |\sec x+\tan x|+C_0\Rightarrow$$

$$\int \frac{1}{{\cos }^{3}x}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\sec x\tan x+\frac{1}{2}\ln |\sec x+\tan x|+C.$$

其中，$C_0$ 和 $C$ 都表示常数。

---