一、题目
已知 $a>0$, 写出对二重积分 $\int_{0}^{a} \mathrm{~d} y \int_{0}^{\sqrt{a y}} f(x, y) \mathrm{d} x$ $+$ $\int_{a}^{2 a} \mathrm{~d} y \int_{0}^{2 a-y} f(x, y) \mathrm{d} x$ 交换积分次序后的新式子。
难度评级：
二、解析 
由题知：
$$
y \in(0, a) \Rightarrow
$$
$$
x=\sqrt{a y} \Rightarrow x^{2}=a y \Rightarrow y=\frac{x^{2}}{a}
$$
以及：
$$
y \in(a, 2 a) \Rightarrow
$$
$$
x=2 a-y \Rightarrow y=-x+2 a
$$
综上可知绘制出该二重积分的积分区域：
于是：
$$
\int_{0}^{a} \mathrm{~d} y \int_{0}^{\sqrt{a y}} f(x, y) \mathrm{d} x + \int_{a}^{2 a} \mathrm{~d} y \int_{0}^{2 a-y} f(x, y) \mathrm{d} x =
$$
$$
\int_{0}^{a} \mathrm{~d} x \int_{\frac{x^{2}}{a}}^{2 a-x} f(x, y) \mathrm{~d} y
$$