一、题目![题目 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/f68a9e590526998388b0f9b71bd5d3f73dda4ed9764819fe8f36488fa537e9b9499f465fd201d7c117b8901c3ad071915a34a688058a739ebc39835753a8d7cc.svg)
已知积分区域 $D$ 由 $y=x$ 与 $y^{2}=x$ 围成,则:
$$
\iint_{D} \frac{\sin \pi y}{y} \mathrm{~d} \sigma = ?
$$
难度评级:
二、解析 ![解析 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/6fff698aa5c66c6c7a143e3d2a00fa8ee7eab76be5360d89eb43a03143848e8cd60377c76bf830c93ec6603be5af661d9c52238834792ea548bf14de10b05ad9.svg)
首先,根据题目信息,可以绘制出如下积分区域(阴影部分):
先对 $y$ 积分后对 $x$ 积分太困难:
$$
\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{\sqrt{x}} \frac{\sin \pi y}{y} \mathrm{~d} y \Rightarrow
$$
因此,交换机分次序:
$$
\int_{0}^{1} \frac{\sin \pi y}{y} \mathrm{~d} y \int_{y^{2}}^{y} 1 \mathrm{~d} x \Rightarrow
$$
$$
\int_{0}^{1} \frac{\sin \pi y}{y}\left(y-y^{2}\right) \mathrm{~d} y \Rightarrow
$$
$$
\int_{0}^{1}(1-y) \sin \pi y \mathrm{~d} y \Rightarrow
$$
$$
\frac{-1}{\pi} \int_{0}^{1}(1-y) d(\cos \pi y) \Rightarrow
$$
$$
\frac{-1}{\pi}\left[\left.(1-y) \cos \pi y\right|_{0} ^{1}-\int_{0}^{1} \cos \pi y d(1-y)\right] \Rightarrow
$$
$$
\frac{-1}{\pi}\left[-1+\int_{0}^{1} \cos \pi y \mathrm{~d} y\right] \Rightarrow
$$
$$
\frac{-1}{\pi}\left[-1+\left.\frac{1}{\pi} \sin \pi y\right|_{0} ^{1}\right] \Rightarrow
$$
$$
\frac{-1}{\pi}\left[-1+\frac{1}{\pi}(\sin \pi-\sin 0)\right] \Rightarrow
$$
$$
\frac{-1}{\pi} \times(-1)=\frac{1}{\pi}
$$
高等数学![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容,图文并茂,计算过程清晰严谨。
线性代数![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
以独特的视角解析线性代数,让繁复的知识变得直观明了。
特别专题![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充,使所学知识更加连贯坚实。