一、题目![题目 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/f68a9e590526998388b0f9b71bd5d3f73dda4ed9764819fe8f36488fa537e9b9499f465fd201d7c117b8901c3ad071915a34a688058a739ebc39835753a8d7cc.svg)
已知,积分区域 $D$ 是由曲线 $y=\sqrt{x}$, 直线 $y=1$ 及 $y$ 轴围成的,则:
$$
I = \iint_{D} \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y = ?
$$
二、解析 ![解析 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/6fff698aa5c66c6c7a143e3d2a00fa8ee7eab76be5360d89eb43a03143848e8cd60377c76bf830c93ec6603be5af661d9c52238834792ea548bf14de10b05ad9.svg)
根据题目所给条件,我们可以绘制出如下积分区域(阴影部分):
但是,如果我们先对 $y$ 求积分,再对 $x$ 求积分,就会比较复杂:
$$
\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x \int_{\sqrt{x}}^{1} e^{-y^{2}} \mathrm{~d} y
$$
所以,我们要调整以下积分次序:
$$
\int_{0}^{1} e^{-y^{2}} \mathrm{~d} y \int_{0}^{y^{2}} \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x \Rightarrow
$$
$$
\int_{0}^{1} e^{-y^{2}}\left(\left.2 x^{\frac{1}{2}}\right|_{0} ^{y^{2}}\right) \mathrm{~d} y \Rightarrow
$$
$$
\int_{0}^{1} 2 y e^{-y^{2}} \mathrm{~d} y \Rightarrow
$$
$$
(-1) \int_{0}^{-1} e^{-y^{2}} \mathrm{~d} \left(-y^{2}\right) \Rightarrow
$$
$$
(-1) \int_{0}^{-1} e^{t} \mathrm{~d} t \Rightarrow
$$
$$
(-1) \left.e^{t}\right|_{0} ^{-1}=-\left(e^{-1}-e^{0}\right)=1-\frac{1}{e}.
$$
高等数学![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容,图文并茂,计算过程清晰严谨。
线性代数![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
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特别专题![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充,使所学知识更加连贯坚实。