一、前言
在「荒原之梦考研数学」的《满秩矩阵与满秩或不满秩矩阵相乘所得矩阵是否满秩？》这篇文章中，我们知道：
- 两个同阶满秩的方阵相乘所得的矩阵一定也满秩；
- 两个同阶的方阵，如果一个满秩一个不满秩，则相乘得到的矩阵一定不满秩.
而在本文中，我们就通过具体的公式推导，来看看，满秩或者不满秩的方阵相乘，所得的矩阵的秩为什么值.
继续阅读“满秩矩阵与满秩或不满秩矩阵相乘所得矩阵的秩该怎么判断？”标签： 考研数学二
求解逆矩阵的常用方法
一、前言
在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们汇总一下求解逆矩阵的常用方法.
二、正文
在本文中，我们设矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 都是可逆矩阵.
方法 1：定义法
根据逆矩阵的定义，我们知道，如果矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 互为逆矩阵，则有：
$$
\boldsymbol{A} \boldsymbol{B} = \boldsymbol{B}\boldsymbol{A} = \boldsymbol{E}
$$
因此，我们可以用逆矩阵的定义来求解逆矩阵，即：
$$
\textcolor{lightgreen}{
\boldsymbol{A}^{-1} = \boldsymbol{B}, \ \boldsymbol{B}^{-1} = \boldsymbol{A}
}
$$
方法 2：伴随矩阵法
根据伴随矩阵的定义，我们知道：
$$
\boldsymbol{A}^{*} = \boldsymbol{A}^{-1} \begin{vmatrix} \boldsymbol{A} \end{vmatrix}
$$
于是，我们可以用伴随矩阵的定义来求解逆矩阵，即：
$$
\textcolor{lightgreen}{
\boldsymbol{A}^{-1} = \frac{\boldsymbol{A}^{*}}{ \begin{vmatrix} \boldsymbol{A} \end{vmatrix} }
}
$$
方法 3：分块矩阵法
对于分块矩阵，我们可以使用下面的公式快速求解其逆矩阵：
$$
\textcolor{lightgreen}{
\begin{aligned}
& \begin{bmatrix} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{A}^{-1} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}^{-1} \end{bmatrix} \\ \\
& \begin{bmatrix} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O} \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}^{-1} \\ \boldsymbol{A}^{-1} & \boldsymbol{O} \end{bmatrix}
\end{aligned}
}
$$
有关分块矩阵的更多运算性质，可以查阅这篇文章.
方法 4：初等变换法
根据《初等变换求逆法的形象理解》这篇文章可知——
对于矩阵 $\boldsymbol{A}$, 我们可以用初等行变换的方式得到其逆矩阵，即：
$$
\textcolor{lightgreen}{
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{A} \mid \boldsymbol{E}
\end{pmatrix} \xrightarrow{\text{初等行变换}} \begin{pmatrix}
\boldsymbol{E} \mid \boldsymbol{A}^{-1}
\end{pmatrix}
}
$$
也可以用初等列变换的方式得到其逆矩阵，即：
$$
\textcolor{lightgreen}{
\begin{pmatrix}
\boldsymbol{A} \\
\boldsymbol{E}
\end{pmatrix} \xrightarrow{\text{初等列变换}} \begin{pmatrix}
\boldsymbol{E} \\
\boldsymbol{A}^{-1}
\end{pmatrix}
}
$$
高等数学
涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容，图文并茂，计算过程清晰严谨。
线性代数
以独特的视角解析线性代数，让繁复的知识变得直观明了。
特别专题
通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充，使所学知识更加连贯坚实。
让考场上没有难做的数学题！
有关自然常数 e 极限公式的两个常见变形
已知公式
对于自然常数 $\mathrm{e}$, 我们有：
$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^{x} = \mathrm{e}
$$
变形一
题目
已知 $a$ 为正整数，则：
$$
\lim_{x \rightarrow \infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{ax} = ?
$$
解析
$$
\begin{aligned}
\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{ax} & = \left[\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x}\right]^{a} \\ \\
& = \mathrm{e}^{a}
\end{aligned}
$$
变形二
已知 $a$ 为正整数，则：
$$
\lim_{x \rightarrow 0}(1 + ax)^{\frac{1}{x}} = ?
$$
解析
首先，令 $y = (ax)^{-1}$, 即：
$$
ax = \frac{1}{y}, \ x = \frac{1}{ay}, \ y \rightarrow \infty
$$
于是：
$$
\begin{aligned}
\lim_{x \rightarrow 0} (1 + ax)^{\frac{1}{x}} & = \lim_{y \rightarrow \infty} \left(1 + \frac{1}{y}\right)^{ay} \\ \\
& = \lim_{y \rightarrow \infty} \left[ \left(1 + \frac{1}{y}\right)^{y} \right]^{a} \\ \\
& = \mathrm{e}^{a}
\end{aligned}
$$
高等数学
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线性代数
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特别专题
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满秩矩阵与满秩或不满秩矩阵相乘所得矩阵是否满秩？
一、前言
在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过多种方式，证明以下两个结论：
- 两个同阶满秩的方阵相乘所得的矩阵一定也满秩；
- 两个同阶的方阵，如果一个满秩一个不满秩，则相乘得到的矩阵一定不满秩.
矩阵秩的性质汇总
平方与求导或许可以将被积函数中次幂不同的部分凑成相同的次幂
一、前言
我们知道，在对一个式子进行积分的时候，如果式子中自变量的次幂都是相同的，就会比较方便进行运算.
我们还知道，平方运算可以让一个式子的次幂增加（反过来看就是减少），例如 $\left( x^{\textcolor{#00bffe}{3}} \right)^{2}$ $=$ $x^{\textcolor{#00bffe}{6}}$; 而每次求导运算可以将一个式子的次幂减少 $1$ 次，例如 $\mathrm{d} \left( x^{\textcolor{yellow}{3}} \right)$ $=$ $\frac{1}{3} x^{\textcolor{yellow}{2}} \mathrm{~d} x$.
所以，对于被积函数中次幂不同部分，可以尝试通过平方运算与求导运算结合使用的方式，凑成相同的次幂.
继续阅读“平方与求导或许可以将被积函数中次幂不同的部分凑成相同的次幂”2019年考研数二第22题解析：等价矩阵、线性表达
一、题目
已知向量组 Ⅰ: $\boldsymbol{\alpha}_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 4 \end{bmatrix}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{bmatrix}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ a^{2} + 3 \end{bmatrix}$, Ⅱ: $\boldsymbol{\beta}_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ a + 3 \end{bmatrix}$, $\boldsymbol{\beta}_{2} = \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 – a \end{bmatrix}$, $\boldsymbol{\beta}_{3} = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ a^{2} + 3 \end{bmatrix}$. 若向量组 Ⅰ 与 Ⅱ 等价，求 $a$ 的取值，并将 $\boldsymbol{\beta}_{3}$ 用 $\boldsymbol {\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示.
难度评级：
二、解析
§2.1 求 $a$ 的取值
首先，由于等价矩阵一定包含相似矩阵，所以，等价矩阵和相似矩阵一样，都具有下面的链式等秩公式：
$$
\textcolor{lightgreen}{
\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \end{pmatrix} = \mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{B} \end{pmatrix} = \mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix} = \mathrm{r} \begin{pmatrix}
\boldsymbol{A} \\
\boldsymbol{B}
\end{pmatrix}
} \tag{1}
$$
其中，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 互为等价矩阵或者相似矩阵.
接着，令：
$$
\begin{align}
\textcolor{lightgreen}{ \boldsymbol{A} } & = \begin{pmatrix} \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3} \end{pmatrix} = \textcolor{lightgreen}{ \begin{bmatrix}
\textcolor{white}{\colorbox{green}{1}} & \textcolor{white}{\colorbox{green}{1}} & 1 \\
\textcolor{white}{\colorbox{green}{1}} & \textcolor{white}{\colorbox{green}{0}} & 2 \\
4 & 4 & a^{2} + 3
\end{bmatrix} } \tag{2} \\ \notag \\
\textcolor{lightgreen}{ \boldsymbol{B} } & = \begin{pmatrix} \boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3} \end{pmatrix} = \textcolor{lightgreen}{ \begin{bmatrix}
\textcolor{white}{\colorbox{green}{1}} & \textcolor{white}{\colorbox{green}{0}} & 1 \\
\textcolor{white}{\colorbox{green}{1}} & \textcolor{white}{\colorbox{green}{2}} & 3 \\
a+3 & 1-a & a^{2} + 3
\end{bmatrix} } \tag{3}
\end{align}
$$
由于向量组 $I$ 与 $II$ 等价，所以，对应的矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 也互为等价矩阵.
观察上面的 $(2)$ 式和 $(3)$ 式可知，一定有（绿色背景白色文字的元素构成的二阶子式不等于零）：
$$
\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \end{pmatrix} \geqslant 2, \ \mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{B} \end{pmatrix} \geqslant 2
$$
所以，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的秩的可能的取值都有两个，即 $\mathrm{r}$ $=$ $2$ 或者 $\mathrm{r}$ $=$ $3$. 于是，根据《图解等价/相似矩阵的链式等秩公式》这篇文章第三节的结论，我们需要使用涵盖三个矩阵的等秩公式：
$$
\textcolor{lightgreen}{
\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \end{pmatrix} = \mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{B} \end{pmatrix} = \mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix}
} \tag{4}
$$
于是，我们接下来要构造出矩阵 $\begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$, 并对其做一些初等行变换（不能做初等列变换，因为这可能会导致属于矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的列向量和属于矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的列向量混合在一起，从而使得到的矩阵不再是矩阵 $\begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$， 而是其他的矩阵），消出一些 $0$ 元素：
$$
\begin{align}
\textcolor{lightgreen}{ \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix} } & = \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 2 & 1 & 2 & 3 \\
4 & 4 & a^{2} + 3 & a+ 3 & 1 – a & a^{2} + 3
\end{bmatrix} \notag \\ \notag \\
& = \textcolor{lightgreen}{ \begin{bmatrix}
\textcolor{white}{\colorbox{green}{1}} & \textcolor{white}{\colorbox{green}{1}} & 1 & 1 & 0 & 1 \\
\textcolor{white}{\colorbox{green}{0}} & \textcolor{white}{\colorbox{green}{-1}} & 1 & 0 & 2 & 2 \\
0 & 0 & a^{2} – 1 & a – 1 & 1 – a & a^{2} – 1
\end{bmatrix} } \tag{4}
\end{align}
$$
接着，观察上面的 $(2)$, $(3)$, $(5)$ 式可知，一定有（绿色背景白色文字的元素构成的二阶子式不等于零）：
$$
\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \end{pmatrix} \geqslant 2, \ \mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{B} \end{pmatrix} \geqslant 2, \ \mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix} \geqslant 2
$$
所以，上面的 $(4)$ 式能否成立，主要就取决于 $(2)$, $(3)$, $(5)$ 式对应的矩阵中，第三行元素是否都为（或者可以消为）$0$ 元素；或者是否都不为 $0$ 元素——
或者说，上面的 $(4)$ 式能否成立，主要就取决于矩阵 $\boldsymbol{A}$, 矩阵 $\boldsymbol{B}$, 矩阵 $\begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ 的秩是否都等于 $2$, 或者都等于 $3$——
计算可知，根据 $a$ 的不同取值，对应矩阵的秩如下：
- 当 $a = 1$ 或者 $a = -1$ 时，$\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \end{pmatrix}$ $=$ $2$, 否则，$\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \end{pmatrix}$ $=$ $3$;
- 当 $a = 1$ 或者 $a = -1$ 时，$\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ $=$ $2$, 否则，$\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ $=$ $3$;
- 当 $a = 1$ 时，$\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ $=$ $2$, 否则，$\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ $=$ $3$.
接下来，我们有两种方法对 $a$ 的取值进行分析讨论——
方 法 一 ：逐个尝试
- 当 $a = 1$ 时，$\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \end{pmatrix}$ $=$ $\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ $=$ $\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ $=$ $2$;
- 当 $a = – 1$ 时，$\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \end{pmatrix}$ $=$ $\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ $\neq$ $\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$;
- 当 $a \neq \pm 1$ 时，$\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \end{pmatrix}$ $=$ $\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ $=$ $\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ $=$ $3$.
因此，只有当 $a \neq – 1$ 时，$\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \end{pmatrix}$ $=$ $\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ $=$ $\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ 成立.
方 法 二 ：峰式画图法
分析可知，我们已经知道了 $a$ 的不同取值，以及对应矩阵的秩，所以，接下来要做的就是看看 $a$ 取什么值的时候，矩阵 $\boldsymbol{A}$, 矩阵 $\boldsymbol{B}$ 和矩阵 $\begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ 的秩相同.
于是，我们可以绘制两个同心圆，小圆对应的区域表示 $\mathrm{r}$ $=$ $2$, 大圆对应的区域表示 $\mathrm{r}$ $=$ $3$, 接着再绘制两条直线（这两条直线不一定需要垂直，此外，如果有更多的条件需要同时考虑，我们可以绘制更多的相交或者不相交的圆形以及直线），蓝色直线表示 $a$ $=$ $1$, 橙色直线表示 $a$ $=$ $-1$, 直线之外的其他区域表示 $a$ $\neq$ $1$ 且 $a$ $\neq$ $-1$, 从而构造一个如图 01 所示的筛选图：
因此：
对于“当 $a = 1$ 或者 $a = -1$ 时，$\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \end{pmatrix}$ $=$ $2$, 否则，$\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \end{pmatrix}$ $=$ $3$”，我们可以将其以如图 02 所示的方式绘制在筛选图上：
对于“当 $a = 1$ 或者 $a = -1$ 时，$\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ $=$ $2$, 否则，$\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ $=$ $3$”，我们可以将其以如图 03 所示的方式绘制在筛选图上：
对于“当 $a = 1$ 时，$\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ $=$ $2$, 否则，$\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ $=$ $3$”，我们可以将其以如图 04 所示的方式绘制在筛选图上：
综上，我们就有了如图 05 所示的全局筛选图：
从上面的筛选图可以很明确地看出来：
- 当 $a$ $=$ $1$ 的时候，矩阵 $\boldsymbol{A}$, 矩阵 $\boldsymbol{B}$ 和矩阵 $\begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ 在小圆对应区域内的同一条线上，说明此时这三个矩阵的秩相等；
- 当 $a \neq \pm 1$ 的时候，矩阵 $\boldsymbol{A}$, 矩阵 $\boldsymbol{B}$ 和矩阵 $\begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ 在大圆对应区域内，说明此时这三个矩阵的秩相等；
- 当 $a$ $=$ $-1$ 的时候，只有矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 在小圆对应区域内的同一条线上，说明当 $a$ $=$ $-1$ 时，$\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \end{pmatrix}$ $=$ $\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ $\neq$ $\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$，于是可知：
若要使 $\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \end{pmatrix}$ $=$ $\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ $=$ $\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ 成立，必须有：
$$
\textcolor{lightgreen}{
a \neq -1
}
$$
§2.2 将 $\boldsymbol{\beta}_{3}$ 用 $\boldsymbol {\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示
通过上面一问的计算可知，$a$ 的取值需要为 $a$ $=$ $1$ 或者 $a \neq \pm 1$.
于是，接下来将 $\boldsymbol{\beta}_{3}$ 用 $\boldsymbol {\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示的时候，需要分两种情况计算，第一种情况是：$a$ $=$ $1$; 第二种情况是：$a$ $\neq$ $\pm 1$—
(1) 当 $a$ $=$ $1$ 时
$$
\begin{aligned}
\begin{pmatrix} \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{3} \end{pmatrix} \\ \\
\leadsto \ & \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 2 & 3 \\
4 & 4 & 4 & 4
\end{bmatrix} \\ \\
\leadsto \ & \begin{bmatrix}
1 & 0 & 2 & 3 \\
0 & 1 & -1 & -2 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix} \\ \\
\leadsto \ & \begin{bmatrix}
\textcolor{orange}{x_{1}} & \textcolor{orange}{x_{2}} & \textcolor{orange}{x_{3}} & \textcolor{lightgreen}{\boldsymbol{\beta}_{3}} \\
1 & 0 & 2 & 3 \\
0 & 1 & -1 & -2 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix} \\ \\
\end{aligned}
$$
于是可知，线性方程 $\boldsymbol{\beta}_{3}$ $=$ $x_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}$ $+$ $x_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}$ $+$ $x_{3} \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 的等价方程组为：
$$
\begin{aligned}
& \begin{cases}
3 = x_{1} + 2 x_{3} \\
-2 = x_{2} – x_{3}
\end{cases} \\ \\
\leadsto \ & \begin{cases}
2x_{3} = 3 – x_{1} \\
x_{3} = x_{2} + 2
\end{cases} \\ \\
\leadsto \ & \textcolor{gray}{\text{令 } x_{3} = k} \\ \\
\leadsto \ & \begin{cases}
x_{1} = 3 – 2k \\
x_{2} = k-2
\end{cases}
\end{aligned}
$$
于是：
$$
\textcolor{lightgreen}{
\boldsymbol{\beta}_{3} = (3 – 2k) \boldsymbol{\alpha}_{1} + (k-2) \boldsymbol{\alpha}_{2} + k \boldsymbol{\alpha}_{3}
}
$$
其中，$k$ 为任意常数.
(2) 当 $a$ $\neq$ $\pm 1$ 时
$$
\begin{aligned}
\begin{pmatrix} \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{3} \end{pmatrix} \\ \\
\leadsto \ & \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 2 & 3 \\
4 & 4 & a^{2}+3 & a^{2}+3
\end{bmatrix} \\ \\
\leadsto \ & \textcolor{gray}{ 第三行减去第一行的四倍 } \\ \\
\leadsto \ & \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 2 & 3 \\
0 & 0 & a^{2}-1 & a^{2}-1
\end{bmatrix} \\ \\
\leadsto \ & \textcolor{gray}{ \text{第三行除以 } a^{2}-1 } \\ \\
\leadsto \ & \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 2 & 3 \\
0 & 0 & 1 & 1
\end{bmatrix} \\ \\
\leadsto \ & \textcolor{gray}{第一行减去第三行} \\ \\
\leadsto \ & \begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 2 & 3 \\
0 & 0 & 1 & 1
\end{bmatrix} \\ \\
\leadsto \ & \textcolor{gray}{第二行减去第三行的两倍} \\ \\
\leadsto \ & \begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1
\end{bmatrix} \\ \\
\leadsto \ & \textcolor{gray}{交换第一行和第二行} \\ \\
\leadsto \ & \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1
\end{bmatrix} \\ \\
\leadsto \ & \textcolor{gray}{第二行减去第一行} \\ \\
\leadsto \ & \begin{bmatrix}
\textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{1}} & \textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{2}} & \textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{3}} & \textcolor{lightgreen}{\boldsymbol{\beta}_{3}} \\
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 1
\end{bmatrix} \\ \\
\end{aligned}
$$
由于上面得到的矩阵已经化简得很简单，所以，可以直接观察得到：
$$
\textcolor{lightgreen}{
\boldsymbol{\beta}_{3} = \boldsymbol{\alpha}_{1} – \boldsymbol{\alpha}_{2} + \boldsymbol{\alpha}_{3}
}
$$
高等数学
涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容，图文并茂，计算过程清晰严谨。
线性代数
以独特的视角解析线性代数，让繁复的知识变得直观明了。
特别专题
通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充，使所学知识更加连贯坚实。
让考场上没有难做的数学题！
N 个未知数需要多少个等式才能确定其取值
基于环形矩阵初等变换图理解什么是可逆矩阵，什么是不可逆矩阵
一、前言
在「荒原之梦考研数学」的《通过矩阵初等变换图理解逆矩阵初等变换的“逆对称”性质》这篇文章中，我们看到了如何用矩阵初等变换图来表示可逆矩阵，而在本文中，我们就对矩阵初等变换图做进一步的升级，并基于升级之后的矩阵初等变换图表示出来不可逆的矩阵.
继续阅读“基于环形矩阵初等变换图理解什么是可逆矩阵，什么是不可逆矩阵”等价矩阵一定包含相似矩阵，反之则不一定
通过矩阵初等变换图理解逆矩阵初等变换的“逆对称”性质
一、前言
在本文中，「荒原之梦考研数学」将从可逆矩阵的性质出发，通过图示的方式为同学们讲清楚由荒原之梦原创的逆矩阵的“逆对称”概念，这一概念的引入可以帮助同学们建立对矩阵的初等变换，以及对逆矩阵、转置矩阵和正交矩阵更加形象和直观的理解.
继续阅读“通过矩阵初等变换图理解逆矩阵初等变换的“逆对称”性质”转置运算和逆运算的桥梁：正交矩阵
什么是矩阵乘法的“左行右列”的性质？
一、前言
在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过一个特别设计的矩阵 $\begin{bmatrix}
a & d & 0 \\
0 & b & 0 \\
0 & 0 & c
\end{bmatrix}$ 来给同学们讲清楚什么是矩阵乘法中的“左行右列”性质.
不同的取整运算：取整、上取整、下取整
一、前言
在本文中，「荒原之梦考研数学」就来讨论一下高等数学中会遇到的三种取整运算：取整、上取整、下取整.
在本文中，我们：
用 “$\left[ x \right]$” 表示对 $x$ 做取整操作；
用 “$\lceil x \rceil$” 表示对 $x$ 做上取整操作；
用 “$\lfloor x \rfloor$” 表示对 $x$ 做下取整操作.
二、正文
在本文的前言部分，我之所以强调我们现在所讨论的取整、上取整和下取整运算是“高等数学”中的，是因为，在其他领域的语境下，“取整”运算指的是“四舍五入”运算，也就是说，在高等数学之外的领域，对 “$5.1$” 做取整操作，得到是 “$5$”, 而对 “$5.7$” 做取整操作，得到的是 “$6$”——
但是，在高等数学中，“ 取 整 ”运算等同于“ 下 取 整 ”运算，即“将一个实数 舍 为 最 接 近 的 整 数 ”：
$$
\begin{aligned}
& \left[ 5.1 \right] = \lfloor 5.1 \rfloor = 5 \\ \\
& \left[ 5.7 \right] = \lfloor 5.7 \rfloor = 5
\end{aligned}
$$
同时，在高等数学中，“ 上 取 整 ”运算，即“将一个实数 进 为 最 接 近 的 整 数 ”：
$$
\begin{aligned}
& \left[ 5.1 \right] = \lfloor 5.1 \rfloor = 6 \\ \\
& \left[ 5.7 \right] = \lfloor 5.7 \rfloor = 6
\end{aligned}
$$
三、例题
图解等价/相似矩阵的链式等秩公式
一、前言
根据矩阵的性质，我们知道，如果矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 等价或者相似，那么，就会存在下面这样的秩相等的链式关系式：
$$
\textcolor{lightgreen}{
\mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \end{pmatrix} = \mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{B} \end{pmatrix} = \mathrm{r} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \end{pmatrix} = \mathrm{r} \begin{pmatrix}
\boldsymbol{A} \\
\boldsymbol{B}
\end{pmatrix}
}
$$
在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过图示的方式，让同学们可以通过图形的方式，更加形象的对上面的公式有一个深入的理解。
继续阅读“图解等价/相似矩阵的链式等秩公式”