线性代数基础归档 - 第6页共20页

$n$ $+$ $1$ 个 $n$ 维向量的性质（C016）

问题

根据向量组线性相关的性质，对于 $\textcolor{orange}{n + 1}$ 个 $\textcolor{cyan}{n}$ 维向量而言，以下结论中，正确的是哪个？

选项

[A]. 可能线性无关

[B]. 可能线性相关

[C]. 一定线性无关

[D]. 一定线性相关

答案

$\textcolor{orange}{n + 1}$ 个 $\textcolor{cyan}{n}$ 维向量一定线性相关

$n$ 个线性相关的 $n$ 维向量的性质（C016）

问题

已知，$n$ 个 $n$ 维向量 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{1}}$, $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{2}}$, $\textcolor{orange}{\cdots}$, $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{n}}$ 线性相关，则行列式 $\textcolor{cyan}{\left|\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}\right|}$ 具有什么特点？

选项

[A]. $\left|\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}\right|$ $\neq$ $0$

[B]. $\left|\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}\right|$ $=$ $0$

[C]. $\left|\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}\right|$ $>$ $1$

[D]. $\left|\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}\right|$ $>$ $0$

答案

$\textcolor{cyan}{\left|\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}\right|}$ $\textcolor{red}{=}$ $0$

向量组线性相关的充要条件：所形成的矩阵的秩（C016）

问题

若向量组 $\textcolor{orange}{\alpha_{1}}$, $\textcolor{orange}{\alpha_{2}}$, $\textcolor{orange}{\cdots}$, $\textcolor{orange}{\alpha_{m}}$ 线性相关，则以下关于 $\textcolor{cyan}{\mathbf{r} (\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m})}$ 的结论中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\mathbf{r} (\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m})$ $=$ $m$

[B]. $\mathbf{r} (\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m})$ $<$ $m$

[C]. $\mathbf{r} (\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m})$ $\geqslant$ $m$

[D]. $\mathbf{r} (\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m})$ $\leqslant$ $m$

答案

向量组 $\textcolor{orange}{\alpha_{1}}$, $\textcolor{orange}{\alpha_{2}}$, $\textcolor{orange}{\cdots}$, $\textcolor{orange}{\alpha_{m}}$ 线性相关
$\textcolor{red}{\Leftrightarrow}$
$\textcolor{cyan}{\mathbf{r} (\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m})}$ $\textcolor{red}{<}$ $\textcolor{orange}{m}$

向量组线性相关的充要条件：齐次线性方程组的解（C016）

问题

若向量组 $\textcolor{orange}{\alpha_{1}}$, $\textcolor{orange}{\alpha_{2}}$, $\textcolor{orange}{\cdots}$, $\textcolor{orange}{\alpha_{m}}$ 线性相关，则对应的齐次线性方程组 $x_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}$ $+$ $x_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $x_{m} \boldsymbol{\alpha}_{m}$ $=$ $(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha_{m}})$ $\left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_m \end{array}\right)$ $=$ $\mathbf{0}$ 的解应该具有什么特征？

选项

[A]. 有实数解

[B]. 无解

[C]. 只有零解

[D]. 有非零解

答案

向量组线性相关的充要条件：向量间的线性表示（C016）

问题

若向量组 $\textcolor{orange}{\alpha_{1}}$, $\textcolor{orange}{\alpha_{2}}$, $\textcolor{orange}{\cdots}$, $\textcolor{orange}{\alpha_{m}}$ 线性相关，则以下说法正确的是哪个？

选项

[A]. 至少存在一个向量可由其余向量线性表示

[B]. 不存在任何一个可由其余向量线性表示的向量

[C]. 任意一个向量都可由其余向量线性表示

[D]. 只能存在一个向量可由其余向量线性表示

答案

向量组 $\textcolor{orange}{\alpha_{1}}$, $\textcolor{orange}{\alpha_{2}}$, $\textcolor{orange}{\cdots}$, $\textcolor{orange}{\alpha_{m}}$ 线性相关
$\textcolor{red}{\Leftrightarrow}$
至少存在一个向量可由其余向量线性表示

两个向量线性相关的特征：几何意义（C015）

问题

已知，有两个向量 $\textcolor{orange}{\alpha_{1}}$ 和 $\textcolor{orange}{\alpha_{2}}$ 是线性相关的，则在几何意义上，这两个向量是否共线？

选项

[A]. 不确定

[B]. 不是

[C]. 是

答案

是

$\textcolor{orange}{\alpha_{1}}$ 和 $\textcolor{orange}{\alpha_{2}}$ 线性相关 $\textcolor{red}{\Leftrightarrow}$ $\textcolor{orange}{\alpha_{1}}$ 和 $\textcolor{orange}{\alpha_{2}}$ 共线

两个向量线性相关的特征：分量（C015）

问题

已知，有两个向量 $\textcolor{orange}{\alpha_{1}}$ 和 $\textcolor{orange}{\alpha_{2}}$ 是线性相关的，则这两个向量对应的分量是否成比例？

选项

[A]. 不确定

[B]. 不是

[C]. 是

答案

是

$\textcolor{orange}{\alpha_{1}}$ 和 $\textcolor{orange}{\alpha_{2}}$ 线性相关 $\textcolor{red}{\Leftrightarrow}$ 对应的分量成比例

单个非零向量的线性相关性（C015）

问题

根据向量线性相关性的定义，非零向量 $(1, 1, 0)$ 或者 $(1, 2, 3)^{\top}$ 是否是线性相关的？

选项

[A]. 不确定

[B]. 是

[C]. 不是

答案

不是。

由定义可知，单个非零向量是线性无关的。

单个零向量的线性相关性（C015）

问题

根据向量线性相关性的定义，零向量 $(0, 0, 0)$ 或者 $(0, 0, 0)^{\top}$ 是否是线性无关的？

选项

[A]. 是

[B]. 不是

[C]. 不确定

答案

不是。

由定义可知，单个零向量是线性相关的。

向量组线性无关的三种表述方法

一、前言

对于向量组 $\boldsymbol{A}:$ $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{m}$ 而言，如果该向量组线性无关，则可以有如下三种表述方法：

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向量组线性无关的定义（C015）

问题

已知，存在定向量组 $\boldsymbol{A}:$ $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{\boldsymbol{m}}$, 以及实数 $k_{1}$, $k_{2}$, $\cdots$, $k_{m}$.

且有如下等式：
$\textcolor{orange}{k_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}}$ $\textcolor{orange}{+}$ $\textcolor{orange}{k_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}}$ $\textcolor{orange}{+}$ $\textcolor{orange}{\cdots}$ $\textcolor{orange}{+}$ $\textcolor{orange}{k_{m} \boldsymbol{\alpha}_{m}}$ $\textcolor{orange}{=}$ $\textcolor{orange}{\mathbf{0}}$.

那么，当实数 $\textcolor{cyan}{k_{1}}$, $\textcolor{cyan}{k_{2}}$, $\textcolor{cyan}{\cdots}$, $\textcolor{cyan}{k_{m}}$ 满足什么条件时，可以说明向量组 $\boldsymbol{A}:$ $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{m}$ 是线性无关的？

选项

[A]. $k_{1}$, $k_{2}$, $\cdots$, $k_{m}$ 不全为 $0$

[B]. $k_{1}$, $k_{2}$, $\cdots$, $k_{m}$ 全为 $0$

[C]. $k_{1}$, $k_{2}$, $\cdots$, $k_{m}$ 全部大于或等于 $0$

[D]. $k_{1}$, $k_{2}$, $\cdots$, $k_{m}$ 不全为负数

答案

$\textcolor{cyan}{k_{1}}$, $\textcolor{cyan}{k_{2}}$, $\textcolor{cyan}{\cdots}$, $\textcolor{cyan}{k_{m}}$ 全为 $\textcolor{yellow}{0}$

向量组线性相关的定义（C015）

问题

已知，存在定向量组 $\boldsymbol{A}:$ $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{\boldsymbol{m}}$, 以及实数 $k_{1}$, $k_{2}$, $\cdots$, $k_{m}$.

选项

[A]. $k_{1}$, $k_{2}$, $\cdots$, $k_{m}$ 全为 $0$

[B]. $k_{1}$, $k_{2}$, $\cdots$, $k_{m}$ 不全为 $0$

[C]. $k_{1}$, $k_{2}$, $\cdots$, $k_{m}$ 全部大于或等于 $0$

[D]. $k_{1}$, $k_{2}$, $\cdots$, $k_{m}$ 不全为负数

答案

$\textcolor{cyan}{k_{1}}$, $\textcolor{cyan}{k_{2}}$, $\textcolor{cyan}{\cdots}$, $\textcolor{cyan}{k_{m}}$ 不全为 $\textcolor{yellow}{0}$

向量组的等价（C014）

问题

根据向量组等价的定义，下面的说法是否正确：

如果向量组 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}}$ 能线性表示向量组 $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{B}}$, 则这两个向量组等价。

选项

[A]. 正确

[B]. 不正确

[C]. 无法确定

答案

题干中的说法不正确。

正确的表述如下：

如果向量组 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}}$ 与向量组 $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{B}}$ 能互相线性表示，则称这两个向量组等价。

向量组与向量组之间的线性表示（C014）

问题

下面的说法是否正确：

有两个向量组 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{A}:}$ $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{1}}$, $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{2}}$, $\textcolor{orange}{\cdots}$, $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{\boldsymbol{m}}}$ 和 $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{B}:}$ $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{\beta}_{1}}$, $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{\beta}_{2}}$, $\textcolor{cyan}{\cdots}$, $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{\beta}_{\boldsymbol{s}}}$, 如果向量组 $\boldsymbol{B}$ 中存在能由向量组 $\boldsymbol{A}$ 线性表示的向量, 则称向量组 $\boldsymbol{B}$ 能由向量组 $\boldsymbol{A}$ 线性表示。

选项

[A]. 不正确

[B]. 无法判断

[C]. 正确

答案

题干中的说法不正确。

正确的说法如下：

如果向量组 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{B}}$ 中的每个向量都能由向量组 $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{A}}$ 线性表示, 则称向量组 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{B}}$ 能由向量组 $\textcolor{cyan}{\boldsymbol{A}}$ 线性表示。

向量和向量组之间的线性表示（C014）

问题

已知，有向量组 $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{1}}$, $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{2}}$, $\textcolor{orange}{\cdots}$, $\textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{m}}$ 和向量 $\textcolor{red}{\boldsymbol{\beta}}$, 如果存在一组数 $\textcolor{cyan}{k_{1}}, \textcolor{cyan}{k_{2}}, \textcolor{cyan}{\cdots}$, $\textcolor{cyan}{k_{m}}$, 使下面哪个式子成立，就可以说明向量 $\boldsymbol{\beta}$ 能由向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{m}$ 线性表示（线性表出）？

选项

[A]. $\boldsymbol{\beta}$ $=$ $k_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}$ $+$ $k_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $k_{m} \boldsymbol{\alpha}_{m}$

[B]. $\boldsymbol{\beta}$ $>$ $k_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}$ $+$ $k_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $k_{m} \boldsymbol{\alpha}_{m}$

[C]. $\boldsymbol{\beta}$ $<$ $k_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}$ $+$ $k_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $k_{m} \boldsymbol{\alpha}_{m}$

[D]. $\boldsymbol{\beta}$ $=$ $k_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}$ $\times$ $k_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}$ $\times$ $\cdots$ $\times$ $k_{m} \boldsymbol{\alpha}_{m}$

答案

$\textcolor{red}{\boldsymbol{\beta}}$ $=$ $\textcolor{cyan}{k_{1}} \textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{1}}$ $+$ $\textcolor{cyan}{k_{2}} \textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{2}}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\textcolor{cyan}{k_{m}} \textcolor{orange}{\boldsymbol{\alpha}_{m}}$