问题
对矩阵做 初 等 变 换 是否会 影 响 该矩阵的 行 秩 或者 列 秩 ？选项
[A]. 初等列变换会影响行秩[B]. 初等行变换会影响行秩
[C]. 会影响
[D]. 不影响
无论是初等行变换还是初等列变换，都 不 会 影响矩阵的秩。
而且，由于矩阵的行秩和列秩一定相等，因此，换种说法就是，初等变换 不 会 影响矩阵的行秩或列秩。
初等变换对矩阵秩的影响（C012）
[B]. 初等行变换会影响行秩
[C]. 会影响
[D]. 不影响
[B]. 初等行变换会影响行秩
[C]. 会影响
[D]. 不影响
矩阵的行秩和列秩（C012）
问题
矩阵的秩分为行秩和列秩两种，那么， 行 秩 和 列 秩 之间有什么关系？选项
[A]. 行秩 $<$ 列秩[B]. 行秩 $>$ 列秩
[C]. 行秩 $=$ 列秩
[D]. 行秩 $\neq$ 列秩
行秩 $\textcolor{red}{=}$ 列秩
矩阵的行秩和列秩是 相 等 的，统称为“秩”——也就是说，对于一个矩阵而言，其秩对应的值是 唯 一 的。
矩阵的秩与相关推论
一、定义
有关矩阵 秩 的标准 定 义 如下：
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $m$ $\times$ $n$ 矩阵，如果 $\boldsymbol{A}$ 中 存 在 $\textcolor{orange}{r}$ 阶子式 不 为 $\textcolor{white}{0}$, 而 所 有 的 $\textcolor{orange}{r}$ $\textcolor{orange}{+}$ $\textcolor{orange}{1}$ 阶子式 全 为 $\textcolor{white}{0}$, 即 $\boldsymbol{A}$ 的非零子式的最高阶数为 $r$, 则称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩为 $\textcolor{orange}{r}$, 记作 $r(\boldsymbol{A})$. 同时，规定零矩阵的秩为 $0$.
继续阅读“矩阵的秩与相关推论”矩阵秩的定义（C012）
问题
已知，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩为 $r$, 则，关于矩阵 秩 的 定 义 ，以下说法中，正确的是哪个？选项
[A]. 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的所有 $r$ $+$ $1$ 阶子式都不为零[B]. 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的所有 $r$ 阶子式都不为零
[C]. 存在矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的所有 $r$ $+$ $1$ 阶子式为零
[D]. 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的所有 $r$ $+$ $1$ 阶子式全为零
存 在 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的 $\textcolor{red}{r}$ 阶子式 不 为 零 ，且矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的 所 有 $\textcolor{red}{r}$ $\textcolor{red}{+}$ $\textcolor{red}{1}$ 阶子式 全 为 零
零矩阵的秩是多少？（C012）
问题
已知有零矩阵 $\textcolor{orange}{\begin{bmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix}}$, 则该矩阵的 秩 是多少？选项
[A]. $4$[B]. $3$
[C]. $2$
[D]. $1$
[E]. $0$
$0$
矩阵秩的最大可能取值（C012）
问题
已知，有 $m$ $\times$ $n$ 的矩阵 $\boldsymbol{A}$, 且 $m$ $>$ $n$, 则矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩 $r(\boldsymbol{A})$ 的 最 大 可 能 取 值 是多少？选项
[A]. $m+n$[B]. $m$
[C]. $n$
[D]. $\frac{1}{2}$ $(m + n)$
$n$
什么是矩阵的 $k$ 阶子式？
构成矩阵子式的元素是否必须相邻？（C012）
问题
根据矩阵子式的定义，构成一个矩阵 子 式 的 元 素 是否必须是 相 邻 的？选项
[A]. 不必须相邻[B]. 必须不相邻
[C]. 必须相邻
构成矩阵子式的元素 可 以 不 相 邻 ，例如，对于矩阵 $\textcolor{orange}{\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}}$ 而言，$\textcolor{yellow}{\begin{vmatrix} 2 & 3\\ 5 & 6 \end{vmatrix}}$ 和 $\textcolor{cyan}{\begin{vmatrix} 1 & 3\\ 4 & 6 \end{vmatrix}}$ 均 是 其子式。
矩阵的子式一定行列相等吗？（C012）
问题
根据矩阵子式的定义，一个矩阵的 $k$ 阶 子 式 ，一定是一个 行 数与 列 数 相 等 的行列式吗？选项
[A]. 一定不是[B]. 不一定是
[C]. 一定是
矩阵的子式 一 定 是一个 行 数与 列 数 相 等 的行列式
矩阵的子式（C012）
问题
根据矩阵子式的定义, 以下选项中，哪一个是矩阵 $\textcolor{orange}{\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}}$ 的 子 式 ？选项
[A]. $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}$[B]. $\begin{vmatrix} 1 & 2\\ 4 & 5 \end{vmatrix}$
[C]. $\begin{vmatrix} 3\\ 6 \end{vmatrix}$
[D]. $\begin{vmatrix} 1 & 2 \end{vmatrix}$
$\begin{vmatrix} 1 & 2\\ 4 & 5 \end{vmatrix}$
矩阵的等价与秩（C011）
问题
若矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 等 价 ，则矩阵的 秩 $\textcolor{orange}{r(\boldsymbol{A})}$ 与 $\textcolor{orange}{r(\boldsymbol{B})}$ 之间是什么关系？选项
[A]. $r(\boldsymbol{A})$ $=$ $-r(\boldsymbol{B})$[B]. $r(\boldsymbol{A})$ $\neq$ $r(\boldsymbol{B})$
[C]. $r(\boldsymbol{A})$ $=$ $r(\boldsymbol{B})$
[D]. $r(\boldsymbol{A})$ $=$ $r(\boldsymbol{B})$ $=$ $0$
$\textcolor{orange}{r(\boldsymbol{A})}$ $\textcolor{red}{=}$ $\textcolor{orange}{r(\boldsymbol{B})}$
矩阵的等价与同型（C011）
问题
若矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 是等价矩阵，则 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 是 否 一定是 同 型 矩阵？选项
[A]. 一定是[B]. 等价与同型无关
[C]. 不一定是
[D]. 一定不是
等 价 矩阵 一 定 是 同 型 矩阵
什么是同型矩阵？（C011）
问题
什么是 同 型 矩 阵 ？选项
[A]. 特征值相等的矩阵[B]. 可逆的矩阵
[C]. 行数等于列数的矩阵
[D]. 行数和列数都对应相等的矩阵
行 数 和 列 数 都 对 应 相 等 的矩阵就是 同 型 矩 阵
等价矩阵的性质：$\boldsymbol{P}$ $\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{Q}$ $=$ $\boldsymbol{B}$（C011）
问题
如果矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 等价，则存在矩阵 $\boldsymbol{P}$ 和 $\boldsymbol{Q}$ 使得：$\boldsymbol{\textcolor{orange}{P}}$ $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{A}}$ $\boldsymbol{\textcolor{orange}{Q}}$ $=$ $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}$.则，上面的矩阵 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{P}}$ 和 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{Q}}$ 具有什么样的性质？
选项
[A]. $\boldsymbol{P}^{-1}$ $=$ $\boldsymbol{Q}$[B]. $\boldsymbol{P}$ $=$ $\boldsymbol{Q}$
[C]. $\boldsymbol{P}$ 和 $\boldsymbol{Q}$ 均可逆
[D]. $\boldsymbol{P}^{\top}$ $=$ $\boldsymbol{Q}$
$\boldsymbol{\textcolor{orange}{P}}$ 和 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{Q}}$ 均 可 逆
矩阵等价的定义（C011）
问题
矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 等 价 的 定 义 是什么？选项
[A]. 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可以经有限次求逆运算变成矩阵 $\boldsymbol{B}$[B]. 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可以经有限次转置运算变成矩阵 $\boldsymbol{B}$
[C]. 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可以经一次初等变换变成矩阵 $\boldsymbol{B}$
[D]. 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可以经有限次初等变换变成矩阵 $\boldsymbol{B}$
如果矩阵 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}$ 经过 有 限 次 初 等 变 换 可以变成矩阵 $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}$, 则称矩阵 $\boldsymbol{\textcolor{orange}{A}}$ 与 $\boldsymbol{\textcolor{cyan}{B}}$ 等 价