已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关，若 $\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, a \boldsymbol{\alpha}_{2}-\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{1}-\boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性相关，则 $a=?$
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继续阅读“线性无关的向量经运算之后变相关，则背后隐藏的矩阵一定线性相关”已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,0,1,2)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,1,3,1)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}=(2,-1, a, 5)^{\mathrm{\top}}$ 线性相关，则 $a=?$
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继续阅读“三个四维列向量线性无关有什么性质？秩小于 3 还是小于 4 ?”已知向量 $\boldsymbol{\beta}=(1, a,-1)^{\mathrm{\top}}$ 可以由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(a+2,7,1)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,-1,2)^{\mathrm{\top}}$ 线性表出，则 $a=?$
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继续阅读“只要存在线性相关的向量，则组成的行列式一定值为零——但一定要记得验证所得未知数的值是否会导致原本线性无关的向量变得线性相关”已知 $f(x, y)$ $=$ $\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^{2} y}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0),\end{array}\right.$ 则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微吗？
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继续阅读“二元函数的可微性你会证明吗：偏导数都存在也不一定可微哦”
如果二元函数 $f(x, y)$ 在点 $(x_{0}, y_{0})$ 处的偏导数 $f^{\prime}_{x}(x_{0}, y_{0})$ 以及 $f^{\prime}_{y}(x_{0}, y_{0})$ 都存在，且下面这个式子的极限值为零，则表明该该二元函数在点 $(x_{0}, y_{0})$ 处可微：
$$
\textcolor{orange}{
\lim \limits_{\substack{\Delta x \rightarrow 0 \\ \Delta y \rightarrow 0}} \frac{[f(x_{0} + \Delta x, y_{0} + \Delta y) – f(x_{0}, y_{0})] – [f^{\prime}_{x}(x_{0}, y_{0}) \Delta x + f^{\prime}_{y}(x_{0}, y_{0}) \Delta y]}{\sqrt{(\Delta x)^{2} + (\Delta y)^{2}}}
}
$$
但是，上面这个式子你能记住吗？
其实，你已经记住上面这个式子了，不信就继续看下文吧。
继续阅读“判断二元函数是否可微的定义公式太长记不住？其实你已经记住了！”$$
\lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0.0)} x y \ln \left(x^{2}+y^{2}\right) = ?
$$
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继续阅读“二元函数求极限的时候也可以利用整体换元代换”二元函数 $f(x, y)$ $=$ $\left\{\begin{array}{cl}\frac{x^{2} y}{x^{4}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ 在点 $(0,0)$ 处可微吗？
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继续阅读“什么时候二元函数的极限不存在：沿不同直线或者曲线极限值不相等时”二元函数 $f(x, y)=\begin{cases}
& \frac{\sin \left(x^{2} y+y^{4}\right)}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0), \\
& 0, & (x, y)=(0,0)
\end{cases}$, 在点 $(0,0)$ 处是否连续？$f_{x}^{\prime}(0,0)$ 和 $f_{y}^{\prime}(0,0)$ 是否存在？
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继续阅读“怎么证明二元函数的极限存在：用放缩法”已知函数 $f(x)$ 连续，且满足 $f(x)=\cos 2 x-4 \int_{0}^{x}(x-t) f(t) \mathrm{d} t$, 则 $f(x)=?$
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继续阅读“这道题没说函数可导，所以就不能求导了嘛？”初值问题 $\left\{\begin{array}{l}1+\left(y^{\prime}\right)^{2}=2 y y^{\prime \prime}, \\ y(1)=1, y^{\prime}(1)=-1\end{array}\right.$ 的特解是（）
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继续阅读“一层一层剥洋葱：从可降阶微分方程到变量可分离的微分方程再到另一个变量可分离的微分方程”已知 $f(x)$ 具有一阶连续导数, $f(0)=0, \mathrm{~d} u(x, y)$ $=$ $f(x) y \mathrm{~d} x+[\sin x-f(x)] \mathrm{~d} y$, 则 $f(x)$ 等于（）
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继续阅读“你知道怎么求解这个隐藏在偏微分方程后面的一阶线性微分方程吗”下面哪些是线性微分方程：
(1) $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=(\sin x) y+\mathrm{e}^{x}$
(2) $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=x \sin y+\mathrm{e}^{x}$
(3) $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\sin x+\mathrm{e}^{y}$
(4) $x \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\cos y+1$
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继续阅读“怎么判断微分方程是线性的？这里有三个判断条件和一道典型例题”已知 $y^{*}$ $=$ $\mathrm{e}^{-2 x}$ $+$ $(x^{2}$ $+$ $2) \mathrm{e}^{x}$ 是二阶常系数线性非齐次微分方程 $y^{\prime \prime}$ $+$ $a y^{\prime}$ $+$ $b y$ $=$ $(c x + d) \mathrm{e}^{x}$ 的一个解，方程中的系数 $a$ 与 $b$ 以及非齐次项中的常数 $c$ 和 $d$ 分别是多少？
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继续阅读“已知解的情况下确定二阶常系数齐次线性微分方程中的未知数”