2021年考研数二第02题解析：等价无穷小、函数在一点处的连续性、一点处的导数

一、题目

»A« 连续且取得极大值

»B« 连续且取得极小值

»C« 可导且导数为 $0$

»D« 可导且导数不为 $0$

难度评级：

二、解析

判断一点处的连续性

由于：

$$
\lim_{x \to 0} f \left( x \right) = \lim_{x \to 0} \dfrac{\mathrm{e}^{x} – 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1 = f \left( 0 \right)
$$

所以，函数 $f \left( x \right)$ 在 $x = 0$ 处连续.

求解一点处的导数

由题可知：

$$
\begin{aligned}
f^{\prime} \left( 0 \right) & = \lim_{x \to 0} \dfrac{f \left( x \right) – f \left( 0 \right)}{x} \\ \\
& = \lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{\mathrm{e}^{x} – 1}{x} – 1}{x} \\ \\
& = \lim_{x \to 0} \dfrac{\mathrm{e}^{x} – 1 – x}{x^{2}} \\ \\
& \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \textcolor{gray}{\text{洛必达运算}} \\ \\
& = \lim_{x \to 0} \dfrac{\mathrm{e}^{x} – 1}{2 x} \\ \\
& = \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{2 x} \\ \\
& = \dfrac{1}{2} \neq 0
\end{aligned}
$$

综上可知，本 题 应 选 D

三、相关知识点

[1]. 常用的等价无穷小公式

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