基于线性方程组证明：上三角矩阵的逆矩阵一定是上三角矩阵；下三角矩阵的逆矩阵一定是下三角矩阵

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过线性方程组的视角证明下面的两个定理：

上三角矩阵的逆矩阵一定是上三角矩阵；
下三角矩阵的逆矩阵一定是下三角矩阵.

二、正文

§2.1 逆矩阵与线性方程组的关系

对于一个矩阵 $\boldsymbol{A}$, 其对应的线性方程组为：

$$
y_{i} = \boldsymbol{A}x_{i} \tag{1}
$$

上面这个式子 $(1)$ 的含义就是，将变量 $y_{i}$ 用变量 $x_{i}$ 表示.

那么，如果我们想要将变量 $x_{i}$ 用变量 $y_{i}$ 表示，就需要用到矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的逆矩阵 $\boldsymbol{A}^{-1}$, 因为：

$$
\begin{align}
& \ y_{i} = \boldsymbol{A}x_{i} \notag \\ \notag \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \boldsymbol{A}^{-1} y_{i} = \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{A}x_{i} \notag \\ \notag \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \boldsymbol{A}^{-1} y_{i} = \boldsymbol{E} x_{i} \notag \\ \notag \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ x_{i} = \boldsymbol{A}^{-1} y_{i} \tag{2}
\end{align}
$$

上面这个式子 $(2)$ 的含义就是，将变量 $x_{i}$ 用变量 $y_{i}$ 表示.

所以说，将用 $x_{i}$ 表示的 $y_{i}$ 的线性方程组转为用 $y_{i}$ 表示 $x_{i}$ 的线性方程组的过程中，就会用到逆矩阵——

当然，如果矩阵 $\boldsymbol{A}$ 不可逆，那么，我们就不能从用 $x_{i}$ 表示 $y_{i}$ 的线性方程组 $y_{i} = \boldsymbol{A}x_{i}$ 出发，得到用 $y_{i}$ 表示 $x_{i}$ 的线性方程组 $x_{i} = \boldsymbol{A}^{-1} y_{i}$.

对于上面的过程，我们可以通过一个具体的例子进一步说明.

例如，令 $\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$, 则，对应的用 $x_{i}$ 表示 $y_{i}$ 的线性方程组为：

$$
\begin{align}
& \ y_{i} = \boldsymbol{A}x_{i} \notag \\ \notag \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \begin{pmatrix}
y_{1} \\
y_{2}
\end{pmatrix} = \boldsymbol{A} \begin{pmatrix}
x_{1} \\
x_{2}
\end{pmatrix} \notag \\ \notag \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \begin{cases}
y_{1} = 2 x_{1} + 3 x_{2}, \\
y_{2} = 5 x_{2}
\end{cases} \tag{3}
\end{align}
$$

根据上面的式子 $(3)$, 如果反过来用 $y_{i}$ 表示 $x_{i}$, 则：

$$
\begin{align}
& \ \begin{cases}
x_{1} = \frac{1}{2} y_{1} – \frac{3}{10} y_{2}, \\
x_{2} = \frac{1}{5} y_{2}
\end{cases} \notag \\ \notag \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \begin{pmatrix}
x_{1} \\
x_{2}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & -\frac{3}{10} \\
0 & \frac{1}{5}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
y_{1} \\
y_{2}
\end{pmatrix} \tag{4}
\end{align}
$$

对于上面式子 $(4)$ 中的矩阵 $\begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & -\frac{3}{10} \\
0 & \frac{1}{5}
\end{pmatrix}$, 由于：

$$
\begin{aligned}
\begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & -\frac{3}{10} \\
0 & \frac{1}{5}
\end{pmatrix} \times \boldsymbol{A} & = \begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & -\frac{3}{10} \\
0 & \frac{1}{5}
\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} \\ \\
& = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix} \\ \\
& = \boldsymbol{E}
\end{aligned}
$$

所以，用 $y_{i}$ 表示 $x_{i}$ 的矩阵 $\begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & -\frac{3}{10} \\
0 & \frac{1}{5}
\end{pmatrix}$ 实际上就是，用 $x_{i}$ 表示 $y_{i}$ 的矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的逆矩阵 $\boldsymbol{A}^{-1}$：

$$
\boldsymbol{A}^{-1} = \begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & -\frac{3}{10} \\
0 & \frac{1}{5}
\end{pmatrix}
$$

§2.2 线性方程组与三角矩阵的关系

通过前面的分析，我们知道，矩阵的逆矩阵与线性方程组变量的表示关系相关. 那么，要证明上三角矩阵的逆矩阵是上三角矩阵，下三角矩阵的逆矩阵是下三角矩阵，就可以通过观察线性方程组的性质完成证明.

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 以 $3 \times 3$ 阶的上三角矩阵为例：

$$
\boldsymbol{A} =
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
0 & a_{22} & a_{23} \\
0 & 0 & a_{33}
\end{pmatrix}, \quad a_{11} a_{22} a_{33} \neq 0
$$

令：

$$
\begin{pmatrix}
y_{1} \\
y_{2} \\
y_{3}
\end{pmatrix} = \boldsymbol{A}
\begin{pmatrix}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}
\end{pmatrix}
$$

展开，得：

$$
\begin{cases}
y_{1} = a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + a_{13} x_{3}, \\
y_{2} = a_{22} x_{2} + a_{23} x_{3}, \\
y_{3} = a_{33} x_{3}
\end{cases} \tag{5}
$$

在上面的式子 $(5)$ 中可以看到：

$$
\begin{aligned}
y_{1} &\text{ 只依赖 } x_{1}, x_{2}, x_{3}, \\
y_{2} &\text{ 只依赖 } x_{2}, x_{3}, \\
y_{3} &\text{ 只依赖 } x_{3}
\end{aligned}
$$

基于式子 $(5)$, 当我们反过来用 $y_{i}$ 表示 $x_{i}$ 的时候，有：

$$
\begin{cases}
x_{1} = \frac{y_{1} – a_{12} x_{2} – a_{13} x_{3}}{a_{11}}, \\
x_{2} = \frac{y_{2} – a_{23} x_{3}}{a_{22}}, \\
x_{3} = \frac{y_{3}}{a_{33}}
\end{cases} \tag{6}
$$

此时，在上面的式子 $(6)$ 中可以看到：

$$
\begin{aligned}
x_{1} &\text{ 只依赖 } y_{1}, y_{2}, y_{3}, \\
x_{2} &\text{ 只依赖 } y_{2}, y_{3}, \\
x_{3} &\text{ 只依赖 } y_{3}
\end{aligned}
$$

由于一个变量是否“依赖”其他变量，由其他变量前面的系数是否非零决定，也就是说：

$$
\begin{aligned}
x_{1} &\text{ 只依赖 } k_{1} \cdot y_{1}, k_{2} \cdot y_{2}, k_{3} \cdot y_{3}, \\
x_{2} &\text{ 只依赖 } 0 \cdot y_{1}, k_{4} \cdot y_{2}, k_{5} \cdot y_{3}, \\
x_{3} &\text{ 只依赖 } 0 \cdot y_{1}, 0 \cdot y_{2}, k_{6} \cdot y_{3}
\end{aligned}
$$

再结合前面“§2.1”章节的结论可知，反过来用 $y_{i}$ 表示 $x_{i}$ 的时候所需的矩阵 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 也必须是一个上三角矩阵：

$$
\boldsymbol{A}^{-1} = \begin{pmatrix}
k_{1} & k_{2} & k_{3} \\
0 & k_{4} & k_{5} \\
0 & 0 & k_{6}
\end{pmatrix}
$$

其中，$k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{6}$ 是非零系数.

当然，下三角矩阵的逆矩阵也是下三角矩阵的基于线性方程组的证明过程与上面类似：

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 以 $3 \times 3$ 阶的下三角矩阵为例：

$$
\boldsymbol{A} =
\begin{pmatrix}
a_{11} & 0 & 0 \\
a_{21} & a_{22} & 0 \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{pmatrix}, \quad a_{11} a_{22} a_{33} \neq 0
$$

令：

$$
\begin{pmatrix}
y_{1} \\
y_{2} \\
y_{3}
\end{pmatrix} = \boldsymbol{A}
\begin{pmatrix}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}
\end{pmatrix}
$$

展开，得：

$$
\begin{cases}
y_{1} = a_{11} x_{1}, \\
y_{2} = a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2}, \\
y_{3} = a_{31} x_{1} + a_{32} x_{2} + a_{33} x_{3}
\end{cases} \tag{7}
$$

在上面的式子 $(7)$ 中可以看到：

$$
\begin{aligned}
y_{1} &\text{ 只依赖 } x_{1}, \\
y_{2} &\text{ 只依赖 } x_{1}, x_{2}, \\
y_{3} &\text{ 只依赖 } x_{1}, x_{2}, x_{3}
\end{aligned}
$$

基于式子 $(7)$, 当我们反过来用 $y_{i}$ 表示 $x_{i}$ 的时候，有：

$$
\begin{cases}
x_{1} = \frac{y_{1}}{a_{11}}, \\
x_{2} = \frac{y_{2} – a_{21} x_{1}}{a_{22}}, \\
x_{3} = \frac{y_{3} – a_{31} x_{1} – a_{32} x_{2}}{a_{33}}
\end{cases} \tag{8}
$$

此时，在上面的式子 $(8)$ 中可以看到：

$$
\begin{aligned}
x_{1} &\text{ 只依赖 } y_{1}, \\
x_{2} &\text{ 只依赖 } y_{1}, y_{2}, \\
x_{3} &\text{ 只依赖 } y_{1}, y_{2}, y_{3}
\end{aligned}
$$

由于一个变量是否“依赖”其他变量，由其他变量前面的系数是否非零决定，也就是说：

$$
\begin{aligned}
x_{1} &\text{ 只依赖 } l_{1} \cdot y_{1}, 0 \cdot y_{2}, 0 \cdot y_{3}, \\
x_{2} &\text{ 只依赖 } l_{2} \cdot y_{1}, l_{3} \cdot y_{2}, 0 \cdot y_{3}, \\
x_{3} &\text{ 只依赖 } l_{4} \cdot y_{1}, l_{5} \cdot y_{2}, l_{6} \cdot y_{3}
\end{aligned}
$$

再结合前面“§2.1”章节的结论可知，反过来用 $y_{i}$ 表示 $x_{i}$ 的时候所需的矩阵 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 也必须是一个下三角矩阵：

$$
\boldsymbol{A}^{-1} = \begin{pmatrix}
l_{1} & 0 & 0 \\
l_{2} & l_{3} & 0 \\
l_{4} & l_{5} & l_{6}
\end{pmatrix}
$$

其中，$l_{1}, l_{2}, \cdots, l_{6}$ 是非零系数.

于是，下三角矩阵的逆矩阵一定是下三角矩阵.

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 虽然上面的证明只以 $3 \times 3$ 阶的矩阵为例，但是对于 $n$ 阶上三角矩阵和 $n$ 阶下三角矩阵而言，证明思路和证明结果完全相同.

因此，下面的结论得证：