「荒原之梦考研数学」文章

一、前言

对于可分离变量的微分方程，我们如下这种导数形式的表达式：

$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = f(x)g(y)
$$

以及下面这种微分形式的表达式：

$$
f_{1}(x) g_{1}(y) \mathrm{~d} x + f_{2}(x) g_{2}(y) \mathrm{~d} y = 0
$$

事实上，上面这两种表达形式是完全等价的.

接下来，荒原之梦考研数学就通过代数运算，证明这二者的等价关系.

继续阅读“可分离变量微分方程的两种形式：导数形式和微分形式”

一、前言

微分方程（Differential Equation, DEQ）分为常微分方程（Ordinary Differential Equation, ODE）和偏微分方程（Partial Differential Equation, PDE）.

$$
\mathrm{ DEQ } \begin{cases}
\mathrm{ ODE } \\
\mathrm{ PDE }
\end{cases}
$$

如图 01 所示，如果对常微分方程和偏微分方程做进一步的细分，就可以发现，无论常微分方程还是偏微分方程，都有一阶、二阶、三阶……，以及线性和非线性之分，但是，只有线性的常微分方程和线性的偏微分方程才有齐次和非齐次之分，非线性的微分方程是没有齐次和非齐次之分的：

从形式上来看，ODE 和 PDE 的主要区别就是自变量的个数不同：ODE 只有一个自变量，PDE 则包含多个自变量.

由于对单变量函数的求导所得的导函数也被称为“常导数”，所以，只有一个自变量的微分方程就被称为常微分方程；类似地，由于对含有多个自变量的函数只能求偏导数，所以，含有多个自变量的微分方程就被称为偏微分方程.

在考研数学中，只考察仅包含一个自变量的常微分方程.

继续阅读“微分方程的分类：常微分方程和偏微分方程”

什么是“峰图”：
峰图（Feng Graph）指的是，由「荒原之梦」（zhaokaifeng.com）原创的一种基于抽象图形的数学定理可视化定义、解释、推导与应用的方法. 「荒原之梦」认为，和自然语言一样，数学的本质原理并不局限于特定的表达形式. 所以，如果说传统上的数学是基于数字（包括各种符号）进行描述的数字数学，那么，峰图就是要建立（现在是局部建立）基于图形的，数字数学的几何形态“克隆体”，并力求使数学原理的表述和数学问题的解答变得更加简单、直观且易于理解.

一、前言

在「荒原之梦考研数学」的《峰图 | 深入理解二元函数的（全面）极限》这篇文章中，我们知道，在计算二元函数一点处的极限时，二元函数中不同形状的去心邻域如果能够相互“包裹”，就是等价的，或者说“等效”的.

在本文中，「荒原之梦考研数学」就通过图示的方式，给同学讲清楚，在二元函数中，哪些形状的去心邻域可用于定义或者求解一点处的极限，哪些形状的定义域不能用于定义或者求解一点处的极限.

继续阅读“峰图 | 二元函数去心邻域可以是哪些形状？不可以是哪些形状？”

什么是“峰图”：
峰图（Feng Graph）指的是，由「荒原之梦」（zhaokaifeng.com）原创的一种基于抽象图形的数学定理可视化定义、解释、推导与应用的方法. 「荒原之梦」认为，和自然语言一样，数学的本质原理并不局限于特定的表达形式. 所以，如果说传统上的数学是基于数字（包括各种符号）进行描述的数字数学，那么，峰图就是要建立（现在是局部建立）基于图形的，数字数学的几何形态“克隆体”，并力求使数学原理的表述和数学问题的解答变得更加简单、直观且易于理解.

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过与一元函数极限的类比，以及对二元函数（全面）极限的定义的分析，为同学们讲清楚二元函数的（全面）极限.

如无特殊说明，本文接下来所提到的“二元函数的极限”指的都是“二元函数的全面极限”.

继续阅读“峰图 | 深入理解二元函数的（全面）极限”

平方差公式

已知，平方差公式为：

$$
\left( a+b \right) \times \left( a-b \right) = a^{2} – b^{2}
$$

所以：

$$
\left( 1 – \sqrt{x} \right) \left( 1 + \sqrt{x} \right) = 1-x
$$

于是：

$$
\lim_{x \rightarrow 1} \frac{1 – x}{2 \left( 1 – \sqrt{x} \right)} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{\left( 1 – x \right) \left( 1 + \sqrt{x} \right)}{2 \left( 1 – x \right)} = 1
$$

难度评级：

立方差公式

已知，立方差公式为：

$$
a^{3} – b^{3} = \left( a-b \right) \times \left( a^{2} + b^{2} +ab \right)
$$

所以：

$$
\left( 1 – \sqrt[3]{x} \right) \left( \sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[3]{x} + 1 \right) = 1 – x
$$

于是：

$$
\lim_{x \rightarrow 1} \frac{1 – x}{1 – \sqrt[3]{x}} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{\left( 1 – x \right) \left( \sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[3]{x} + 1 \right)}{1 – x} = 3
$$

难度评级：

$n$ 方差（$n$ 次幂差）公式

事实上，当 $n$ 为正整数的时候，对于式子 $a^{n} – b^{n}$, 我们有下面的通用计算公式：

$$
\begin{aligned}
a^{n} – b^{n} & = \left( a – b \right) \sum_{k=0}^{n-1} a^{n-1-k} b^{k} \\ \\
& = \left( a – b \right) \left( a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^{2} + \cdots + ab^{n-2} + b^{n-1} \right)
\end{aligned}
$$

于是——

1. 当 $n=2$ 时，有：

$$
a^{2} – b^{2} = \left( a – b \right) \left( a + b \right)
$$

2. 当 $n=3$ 时，有：

$$
a^{3} – b^{3} = \left( a – b \right) \left( a^{2} + ab + b^{2} \right)
$$

3. 当 $n=4$ 时，有：

$$
a^{4} – b^{4} = \left( a – b \right) \left( a^{3} + a^{2}b + ab^{2} + b^{3} \right)
$$

需要注意的是，由于：

$$
a^{3} – b^{3} = \left( a – b \right) \left( a^{2} + ab + b^{2} \right) \textcolor{orangered}{ \neq \left( a – b \right) \left( a^{2} + 2ab + b^{2} \right) }
$$

即：

$$
a^{3} – b^{3} = \left( a – b \right) \left( a^{2} + ab + b^{2} \right) \textcolor{orangered}{ \neq \left( a – b \right) \left( a+b \right)^{3-1} }
$$

因此：

$$
\textcolor{orangered}{
a^{n} – b^{n} \neq \left( a-b \right) \left( a+b \right)^{n-1}
}
$$

---

前言

下面这个式子连接了三角函数 $\sin$, $\cos$ 和 $\tan$, 即：

$$
\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}
$$

因此，在遇到有关三角函数 $\tan$ 的积分时，我们可以尝试将其化作由三角函数 $\sin$ 和 $\cos$ 组成的等价表达式；类似地，在遇到有关三角函数 $\sin$ 和 $\cos$ 的积分时，我们可以尝试将其化作由三角函数 $\tan$ 组成的等价表达式.

继续阅读“有关三角函数 sin, cos 和 tan 的积分的两个结题思路：化二为一、化一为二”

一、题目

$$
\int \sin^{4} x \times \cos^{2} x \mathrm{~d} x = ?
$$

难度评级：

继续阅读“对于偶次幂的三角函数，可以尝试用倍角公式降幂”

一、前言

在计算多项和的乘积的时候（也就是下面这样的式子），很容易出现计算失误：

$$
\left( a+b \right) \times \left( c+d \right) \times \left( e+f+g \right)
$$

在本文中，「荒原之梦考研数学」设计了一种基于表格的多项和的乘积的计算方式，帮助同学们在计算这类式子的时候降低错误率.

继续阅读“峰图 | 用表格的形式辅助计算多项和的乘积”

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过公式的推导，帮助同学们在遇到下面这样的式子时可以从中快速拆分出常数，从而方便进行积分、求导等运算：

$$
\frac{a x^{2} + b}{1+x^{2}} \quad \quad \frac{a x^{2} + b}{1 + cx^{2}} \quad \quad \frac{a x^{2} + b}{d + cx^{2}}
$$

我们的目标是，对上面的式子，建立下面的等式：

$$
\begin{align}
\frac{a x^{2} + b}{1+x^{2}} & = A – \frac{B}{1 + x^{2}} \tag{1} \\ \notag \\
\frac{a x^{2} + b}{1 + cx^{2}} & = A – \frac{B}{1 + c x^{2}} \tag{2} \\ \notag \\
\frac{a x^{2} + b}{d + cx^{2}} & = A – \frac{B}{d + c x^{2}} \tag{3}
\end{align}
$$

其中，$a$, $b$, $c$ 和 $d$ 是已知的常数，$A$ 和 $B$ 是未知常数.

继续阅读“从分式中拆分出常数的三个快速公式”