1 月 2023 - 第4页共7页

$n$ 阶方阵 $A$ 不可逆的充要条件： $r (A)$ （C010）

问题

已知，

A

为

n

阶方阵，则当

r (A)

满足如下哪个条件时，可以判断矩阵

A

不可逆？

选项

[A].

r (A)

⩽

n

[B].

r (A)

>

1

[C].

r (A)

>

n

[D].

r (A)

<

n

答案

$n$ 阶矩阵 $A$ 不可逆 $\Leftrightarrow$ $r (A)$ $<$ $n$

$n$ 阶方阵 $A$ 不可逆的充要条件： $| A |$ （C010）

问题

已知，

A

和

B

均为

n

阶方阵，则当

| A |

满足如下哪个条件时，可以判断矩阵

A

不可逆？

选项

[A].

| A |

=

1

[B].

| A |

\neq

0

[C].

| A |

=

0

[D].

| A |

\neq

1

答案

$n$ 阶矩阵 $A$ 不可逆 $\Leftrightarrow$ $| A |$ $=$ $0$

$n$ 阶方阵 $A$ 可逆的充要条件： $A$ 的特征值（C010）

问题

已知，

A

为

n

阶方阵，则当

A

的特征值满足如下哪个条件时，可以判断矩阵

A

可逆？

选项

[A].

A

的特征值不都为

0

[B].

A

的特征值都不为

0

[C].

A

的特征值不都为负数

[D].

A

的特征值都为正数

答案

$n$ 阶矩阵 $A$ 可逆 $\Leftrightarrow$ $A$ 的特征值都不为 $0$

计算微分方程 $y$ $y^{''}$ $+$ $2$ $(y^{'})^{2}$ $=$ $0$ 满足给定初始条件的特解

一、题目

微分方程 $y$ $y^{''}$ $+$ $2$ $(y^{'})^{2}$ $=$ $0$ 满足初始条件 $y (0)$ $=$ $1$ , $y^{'} (0)$ $=$ $- 1$ 的特解是？

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$n$ 阶方阵 $A$ 可逆的充要条件： $A$ 的向量组（C010）

问题

已知，

A

为

n

方阵，则当

A

的列（行）向量组线性无关时，是否可以判断出矩阵

A

可逆？

选项

[A]. 是

[B]. 否

答案

是
$n$ 阶矩阵 $A$ 可逆 $\Leftrightarrow$ $A$ 的列（行）向量组线性无关

$n$ 阶方阵 $A$ 可逆的充要条件： $A$ $x$ $=$ $b$ （C010）

问题

已知，

A

为

n

阶方阵，

b

为常数，则当

A

x

=

b

满足如下哪个条件时，可以判断矩阵

A

可逆？

选项

[A].

A

x

=

b

无解

[B].

A

x

=

b

有两个不同的解

[C].

A

x

=

b

有唯一解

[D].

A

x

=

b

只有零解

答案

$n$ 阶矩阵 $A$ 可逆 $\Leftrightarrow$ $A$ $x$ $=$ $b$ 有唯一解

$n$ 阶方阵 $A$ 可逆的充要条件： $A$ $x$ $=$ $0$ （C010）

问题

已知，

A

为

n

阶方阵，则当

A

x

=

0

满足如下哪个条件时，可以判断矩阵

A

可逆？

选项

[A].

A

x

=

0

只有非零解

[B].

A

x

=

0

有非零解

[C].

A

x

=

0

只有零解

[D].

A

x

=

0

无实数解

答案

$n$ 阶矩阵 $A$ 可逆 $\Leftrightarrow$ $A$ $x$ $=$ $0$ 只有零解

$n$ 阶方阵 $A$ 可逆的充要条件： $A$ 与 $E$ （C010）

问题

已知，

A

为

n

阶方阵，

E

为

n

阶单位矩阵，则当

A

与

E

之间满足如下什么关系时，可以判断矩阵

A

可逆？

选项

[A].

A^{*}

与

E

等价

[B].

A

与

E

不等价

[C].

A

与

E

等价

[D].

| A |

\neq

| E |

答案

$n$ 阶矩阵 $A$ 可逆 $\Leftrightarrow$ $A$ 与 $E$ 等价

$n$ 阶方阵 $A$ 可逆的充要条件： $A$ 与初等矩阵（C010）

问题

已知，

A

为

n

阶方阵，如果

A

可以表示为若干初等矩阵的乘积，是否可以据此判断出矩阵

A

可逆？

选项

[A]. 不可以

[B]. 可以

[C]. 需要看情况

答案

可以。
$n$ 阶矩阵 $A$ 可逆 $\Leftrightarrow$ $A$ 可以表示为若干初等矩阵的乘积

矩阵的三种初等变换详解

一、前言

在考研数学的《线性代数》这一科目中，矩阵的三种初等变换是一个基础且重要的组成部分，在本文中，荒原之梦网（zhaokaifeng.com）将会用简明直观的方式逐一解析这三种初等变换。

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对变上限积分 $\int_{0}^{x}$ $t f (x - t)$ $d t$ 进行求导运算

一、题目

对变上限积分：

$\int_{0}^{x} t f (x - t) d t$

进行求导运算的结果是什么？

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$n$ 阶方阵 $A$ 可逆的充要条件： $A^{*}$ （C010）

问题

已知，

A

和

B

均为

n

阶方阵，则当

A^{*}

满足如下哪个条件时，可以判断矩阵

A

可逆？

选项

[A].

A^{⊤}

不可逆

[B].

A^{*}

不可逆

[C].

| A^{*} |

=

0

[D].

A^{*}

可逆

答案

$A^{*}$ 可逆
或
$| A^{*} |$ $\neq$ $0$

计算不定积分： $\int e^{\int (\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y}) d y}$ $d y$

一、题目

$\int e^{\int (\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y}) d y} d y = ?$

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$n$ 阶方阵 $A$ 可逆的充要条件： $r (A)$ （C010）

问题

已知，

A

为

n

阶方阵，则当

r (A)

满足如下哪个条件时，可以判断矩阵

A

可逆？

选项

[A].

r (A)

=

n - 1

[B].

r (A)

=

1

[C].

r (A)

=

n

[D].

r (A)

=

0

答案

$r (A)$ $=$ $n$

借助泰勒定理记忆等价无穷小： $e^{x}$ $-$ $1$ $\sim$ $x$

一、问题描述

当 $x$ $\to$ $0$ 时，有一个重要的等价无穷小：

$e^{x} - 1 \sim x$

但是，有时候我们可能会将该等价无穷小错记成下面这种形式：

$1 - e^{x} \sim x$

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