设函数 $y=f(x)$ 由 $\left\{\begin{array}{l}x=2 t+|t| \\ y=|t| \sin t\end{array}\right.$ 确定, 则 ( )
(A) $f(x)$ 连续, $f^{\prime}(0)$ 不存在
(B) $f^{\prime}(0)$ 不存在, $f(x)$ 在 $x=0$ 处不连续
(C) $f^{\prime}(x)$ 连续, $f^{\prime \prime}(0)$ 不存在
(D) $f^{\prime \prime}(0)$ 存在, $f^{\prime \prime}(x)$ 在 $x=0$ 处不连续
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继续阅读“2023年考研数二第05题解析：参数方程求导、导数存在性定理”已知微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=0$ 的解在 $(-\infty,+\infty)$ 上有界, 则 $a, b$ 的取值范围为 ( )
(A) $a<0, b>0$
(C) $a=0, b>0$
(B) $a>0, b>0$
(D) $a=0, b<0$
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继续阅读“2023年考研数二第04题解析：二阶常系数微分方程解的性质”设数列 $\left\{x_{n}\right\} ，\left\{y_{n}\right\}$ 满足 $x_{1}=y_{1}=\frac{1}{2}, x_{n+1}=\sin x_{n}, y_{n+1}=y_{n}^{2}$, 当 $n \rightarrow \infty$ 时 ( )
(A) $x_{n}$ 是 $y_{n}$ 的高阶无穷小
(B) $y_{n}$ 是 $x_{n}$ 的高阶无穷小
(C) $x_{n}$ 是 $y_{n}$ 的等价无穷小
(D) $x_{n}$ 是 $y_{n}$ 的同阶但非等价无穷小
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继续阅读“2023年考研数二第03题解析：数列比较大小”函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}, x \leq 0 \\ (x+1) \cos x, x>0\end{array}\right.$ 的原函数为 ( )
(A) $F(x)=\left\{\begin{array}{l}\ln \left(\sqrt{1+x^{2}}-x\right), x \leq 0 \\ (x+1) \cos x-\sin x, x>0\end{array}\right.$
(B) $F(x)=\left\{\begin{array}{l}\ln \left(\sqrt{1+x^{2}}-x\right)+1, x \leq 0 \\ (x+1) \cos x-\sin x, x>0\end{array}\right.$
(C) $F(x)=\left\{\begin{array}{l}\ln \left(\sqrt{1+x^{2}}-x\right), x \leq 0 \\ (x+1) \sin x+\cos x, x>0\end{array}\right.$
(D) $F(x)=\left\{\begin{array}{l}\ln \left(\sqrt{1+x^{2}}+x\right)+1, x \leq 0 \\ (x+1) \sin x+\cos x, x>0\end{array}\right.$
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继续阅读“2023年考研数二第02题解析：分段函数、导函数的性质”$y=x \ln \left(e+\frac{1}{x-1}\right)$ 的斜渐近线方程是 ( )
(A) $y=x+e$
(C) $y=x$
(B) $y=x+\frac{1}{e}$
(D) $y=x-\frac{1}{e}$
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继续阅读“2023年考研数二第01题解析：渐近线、等价无穷小”
解决高等数学中的极限问题用什么方法？
配项？凑项？拆分？
上面这些方法都有很强的技巧性，而且也并不适合所有极限类型的题目。
继续阅读“左手洛必达，右手泰勒展开：通吃99.999%的极限问题”已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\sqrt{x}, & x \geqslant 0 \\ \sqrt{-x}, & x<0\end{array}\right.$, 则：
(A) $f(x)$ 在 $x=0$ 不连续
(B) $f^{\prime}(0)$ 存在
(C) $f^{\prime}(0)$ 不存在, 曲线 $y=f(x)$ 在 $(0,0)$ 不存在切线
(D) $f^{\prime}(0)$ 不存在, 曲线 $y=f(x)$ 在 $(0,0)$ 有切线
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继续阅读“导数不存在不一定没有切线：导数不能以极限的形式存在，但是切线可以以极限的形式存在”已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}|x|^{a} \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0, \\ 0, & x=0,\end{array}\right.$ 若：
(I) $f(x)$ 为连续函数;
(II) $f(x)$ 为可导函数;
(III) $f(x)$ 为连续可导函数,
则参数 $a$ 必须分别满足：
(A) ( I ) $a>0$; ( II ) $a>1$; ( III ) $a>2$
(B) ( I ) $a>1$; ( II ) $a>2$; ( III) $a>3$
(C) ( I ) $a>0$; ( II ) $a \geqslant 1$; ( III ) $a \geqslant 2$
(D) ( I ) $a>0$; ( II ) $a \geqslant 2$; ( III ) $a \geqslant 3$
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继续阅读“震荡无极限的三角函数 sin 和 cos 具有“自限性””已知，函数 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 某邻域有定义，则存在函数 $g(x)$ 在 $x_{0}$ 处连续并使 $f(x) – f\left(x_{0}\right)=\left(x-x_{0}\right) g(x)$ 是 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处可导的充要条件吗？
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继续阅读“一点处导数是“该点处”的导数，而不是“趋于该点处”的导数”已知 $f(x), g(x)$ 在 $x=x_{0}$ 可导, $F(x)=g(x)|f(x)|$, 又 $f\left(x_{0}\right)=0$, 则 $F^{\prime}\left(x_{0}\right)$ 存在的充要条件是什么？
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继续阅读“带有绝对值的一点处导数的定义怎么用？”已知，连续函数 $F(x)=g(x) \varphi(x), x=a$ 是 $\varphi(x)$ 的跳跃间断点, $g^{\prime}(a)$ 存在, 则 $g(a)=0$, $g^{\prime}(a)=0$ 是 $F(x)$ 在 $x=a$ 处可导的充分必要条件吗？
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继续阅读“只有乘以 “0” 才可以「抹平」跳跃间断点”已知 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续，则 “$\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在” 是 “$f(x)$ 为 $[a,+\infty)$ 上的有界函数” 的充要条件吗？
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继续阅读“极限存在会有界，但有界不一定存在极限”已知 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内都有定义，且 $x=x_{1}$ 是 $f(x)$ 的唯一间断点, $x=$ $x_{2}$ 是 $g(x)$ 的唯一间断点，则：
(A) 当 $x_{1}=x_{2}$ 时, $f(x)+g(x)$ 必有唯一的间断点 $x=x_{1}$
(B) 当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时, $f(x)+g(x)$ 必有两个间断点 $x=x_{1}$ 与 $x=x_{2}$
(C) 当 $x_{1}=x_{2}$ 时, $f(x) g(x)$ 必有唯一的间断点 $x=x_{1}$
(D) 当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时, $f(x) g(x)$ 必有两个间断点 $x=x_{1}$ 与 $x=x_{2}$
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继续阅读“乘法对间断点的「弥合」作用强于加法”已知 $f(x)=x \tan \left(\frac{\pi}{6} \mathrm{e}^{\sin x}\right), x \in(-\infty,+\infty)$, 则 $f(x)$ 是
(A) 偶函数
(B) 无界函数
(C) 周期函数
(D) 单调函数
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继续阅读“这个复杂式子的求导你会吗？”以下运算和结论都正确的有哪些？
(1) $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{-\frac{1}{x^{2}}}}{x}$ $=$ $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{-\frac{1}{x^{2}}}\left(\frac{2}{x^{3}}\right)}{1}=2 \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{-\frac{1}{x^{2}}}}{x^{3}}$ $=$ $\frac{4}{3} \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{-\frac{1}{x^{2}}}}{x^{5}}=\cdots=\infty$
(2) $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}$ $=$ $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}}$ $=$ $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{1+x^{2}}}{x}=\cdots$, 由于分子与分母一直反复，所以该极限不存在。
(3) 由于 $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{x+\sin x}{x+\cos x}$ $=$ $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{1+\frac{\sin x}{x}}{1+\frac{\cos x}{x}}$ $=$ $\frac{1+0}{1+0}=1$, 另一方面 $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{x+\sin x}{x+\cos x}$ 为 “$\frac{\infty}{\infty}$” 型，由洛必达法则, $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{x+\sin x}{x+\cos x}$ $=$ $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{1+\cos x}{1-\sin x}$, 所以 $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{1+\cos x}{1-\sin x}=1$
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继续阅读“洛必达法则只能用于求极限，不能用于传递极限值”