考研数学 - 第24页共165页 - 荒原之梦

在变限积分中先分清谁要被看作常数，再讨论去根号的方式

一、题目

已知 $x ⩾ - 1$ , 则 $\int_{- 1}^{x} (1 - | t |) d t = ?$

难度评级：

无穷小量计算的技巧：抛砖引玉式解法

一、题目

$I = lim_{x \to 0} \frac{\cos (\sin x) - \cos x}{\tan x \cdot [\int_{0}^{x} e^{- (x - t)^{2}} d t - x]} = ?$

难度评级：

构造函数的技巧：什么样的式子求导可能会产生 1 阶导和 0 阶导？

一、题目

已知 $f (x)$ 可导, $f (0) = 2$ , 且 $f^{'} (x)$ $<$ $2 f (x)$ , 则下列结论正确的是哪个 ( )

A. $f (- 1) > 2$

C. $f (1) > 2 e^{2}$

B. $f (- 1) < \frac{2}{e^{2}}$

D. $f (1) < 2 e^{2}$

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矩阵与其逆矩阵对应的特征值相乘等于 1

一、题目

设 $A$ 和 $B$ 均为 $3$ 阶矩阵，且 $A$ 的特征值为 $- 1$ , $0$ , $3$ , $A B$ $+$ $A$ $=$ $B$ $+$ $2 E$ , 则与矩阵 $B^{- 1} + E$ 相似的对角矩阵可以是 ()

难度评级：

式子复杂不要怕，先分析其“型”，再确定求解之“法”

一、题目

已知：

$f (x) = lim_{t \to x} \sin x \cdot {(\frac{t}{x})}^{\frac{t^{3}}{t - x}}$

则：

$lim_{x \to 0} \frac{f (x) - x}{x^{3}} = ?$

难度评级：

对抽象矩阵的运算可以转换为对该矩阵特征值的运算

一、题目

已知 $3$ 阶矩阵 $A$ 满足 $A^{2} - A - 2 E = O$ , 且 $| A | = 2$ . 将 $A$ 的第 $1$ 列的 $2$ 倍加到第 $3$ 列，再将第 $3$ 行的 $- 2$ 倍加到第 $1$ 行得 $B$ , 则 $| B + 3 E | = ?$

难度评级：

二次型的规范型不仅反映了二次型矩阵特征值的正负，还反映了二次型矩阵的秩

一、题目

已知二次型 $f (x_{1}, x_{2}, x_{3})$ $=$ $(x_{1} + x_{2})^{2}$ $+$ $(x_{1} - 2 x_{3})^{2}$ $+$ $(x_{2} + a x_{3})^{2}$ 的规范型为 $y_{1}^{2} + y_{2}^{2}$ , 则 $a = ?$

难度评级：

通过曲率圆和二阶导确定极限式子的值

一、题目

已知曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, 0)$ 处的曲率圆为 $(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 2$ , 则：

$I = lim_{x \to 0} \frac{f (x) + x}{(1 + x)^{x} - 1} = ?$

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无穷小与有理化、积分、中值定理相结合的一道题目

一、题目

当 $x \to 0$ 时，无穷小量：

$\begin{aligned} α = \sqrt{1 + x \cos x} - \sqrt{1 + \sin x} \\ β = \int_{0}^{e^{2 x} - 1} \frac{\sin^{2} t}{t} d t \\ γ = \cos (\tan x) - \cos x \end{aligned}$

的阶数由高到低次序为 ()

难度评级：

使正定矩阵 A 和 B 相乘所得的矩阵也是正定矩阵的充要条件是什么？

一、题目

若 $A$ 和 $B$ 都是 $n$ 阶正定矩阵，请证明 $A B$ 也为正定矩阵的充要条件是 $A B = B A$

难度评级：

通过转化为函数的方式求解抽象行列式的值

一、题目

已知 $A$ 是 $3$ 阶矩阵，且 $| A + E | = 1$ , $A + 2 E = 1$ , $| A + 3 E | = 1$ , 则 $A + 4 E = ?$

难度评级：

积分运算去根号的方式之一：三角函数凑平方去根号

一、题目

$I = \int_{0}^{π} \sqrt{1 - \sin x} d x = ?$

难度评级：

什么样的矩阵乘以其转置矩阵得正定矩阵？

一、题目

已知 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，非齐次线性方程组 $A x = β$ 有唯一解，请证明矩阵 $A^{⊤} A$ 是正定矩阵。

难度评级：

正定矩阵的伴随矩阵一定是正定矩阵吗？

一、题目

已知， $A$ 是 $n$ 阶正定矩阵，请证明其伴随矩阵 $A^{*}$ 也是正定矩阵。

难度评级：

关于正定矩阵及其衍生矩阵的两条重要结论

一、前言

假如 $n$ 阶矩阵 $A$ 和 $m$ 阶矩阵 $B$ 均为正定矩阵，则其衍生矩阵会有那些结论呢？