$\sqrt[b]{1+ax}$ $-$ $1$ $=$ $(1+ax)^{\frac{1}{b}}$ $-$ $1$ $\sim$ $\frac{1}{b}ax$ $=$ $\frac{a}{b}x$
高等数学中常用的等价无穷小：
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其中，$a$ 和 $b$ 为常数.
$(1 + ax)^{b}$ $-$ $1$ $\sim$ $abx$
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$\sin x$ $-$ $\tan x$ $\sim$ $- \frac{1}{2} x^{3}$ $\sim$ $\arctan$ $-$ $\arcsin$
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$\arctan x$ $-$ $x$ $\sim$ $- \frac{1}{3} x^{3}$ $\sim$ $x$ $-$ $\tan x$
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$x$ $-$ $\arctan x$ $\sim$ $\frac{1}{3} x^{3}$
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$\lim_{x \rightarrow \infty}$ $\frac{a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n-1} + \cdots + a_{n}}{b_{0} x^{m} + b_{1} x^{m-1} + \cdots + b_{m}}$ $=$ $\begin{cases} & \infty, n > m, \\ & \frac{a_{0}}{b_{0}}, n=m, a_{0} \neq 0, b_{0} \neq 0, \\ & 0, n < m. \end{cases}$
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$\lim_{x \rightarrow \color{Red}{-} \infty} \arctan x$ $=$ $- \frac{\pi}{2}$
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$\lim_{x \rightarrow + \infty} \arctan x$ $=$ $\frac{\pi}{2}$
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$\lim_{x \rightarrow 0^{+}} x^{x}$ $=$ $1$
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$\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n}$ $=$ $1$
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$\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a}$ $=$ $1$, 其中 $a$ $>$ $0$.
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$\lim_{n \rightarrow \infty} |q|^{n}$ $=$ $\begin{cases} & + \infty, |q| > 1,\\ & 0, |q| < 1.\end{cases}$
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$\tan x$ $-$ $\sin x$ $\sim$ $\arcsin x$ $-$ $\arctan x$ $\sim$ $\frac{1}{2} x^{3}$
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$\tan x$ $-$ $x$ $\sim$ $x$ $-$ $\arctan x$ $\sim$ $\frac{1}{3}x^{3}$
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$x$ $-$ $\sin x$ $\color{Red}{\sim}$ $\frac{1}{6} x^{3}$ $\color{Red}{\sim}$ $\arcsin x$ $-$ $x$
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