线性代数归档 - 第36页共41页

问题

已知，某行列式只有副对角线上元素不全为零，其他位置的元素全为零：

| \begin{array}{cccc} 0 & λ_{1} \\ λ_{2} \\ \dots \\ λ_{n} & 0 \end{array} |

则，该行列式 $D$ $=$ $?$

选项

[A].

D

=

(- 1)^{\frac{n (n - 1)}{2}}

λ_{1}

λ_{2}

\dots

λ_{n}

[B].

D

=

(- 1)^{\frac{n - 1}{2}}

λ_{1}

λ_{2}

\dots

λ_{n}

[C].

D

=

(- 1)^{\frac{n}{2}}

λ_{1}

λ_{2}

\dots

λ_{n}

[D].

D

=

λ_{1}

λ_{2}

\dots

λ_{n}

答案

$| \begin{array}{cccc} 0 & λ_{1} \\ λ_{2} \\ \dots \\ λ_{n} & 0 \end{array} |$ $=$ $(- 1)^{\frac{n (n - 1)}{2}}$ $λ_{1}$ $λ_{2}$ $\dots$ $λ_{n}$

问题

如果用

\circ

表示副对角线上的元素，用

*

表示除了副对角线元素以外的其他元素。

则，以下哪个选项所表示的副对角线是正确的？

选项

[A].

| \begin{matrix} \circ & * & * \\ \circ & * & * \\ \circ & * & * \end{matrix} |

[B].

| \begin{matrix} \circ & \circ & \circ \\ * & * & * \\ * & * & * \end{matrix} |

[C].

| \begin{matrix} \circ & * & * \\ * & \circ & * \\ * & * & \circ \end{matrix} |

[D].

| \begin{matrix} * & * & \circ \\ * & \circ & * \\ \circ & * & * \end{matrix} |

答案

$| \begin{matrix} * & * & \circ \\ * & \circ & * \\ \circ & * & * \end{matrix} |$

问题

如果用

⊙

表示主对角线上的元素，用

*

表示除了主对角线元素以外的其他元素。

则，以下哪个选项所表示的主对角线是正确的？

选项

[A].

| \begin{matrix} * & * & ⊙ \\ * & ⊙ & * \\ ⊙ & * & * \end{matrix} |

[B].

| \begin{matrix} ⊙ & * & * \\ * & ⊙ & * \\ * & * & ⊙ \end{matrix} |

[C].

| \begin{matrix} ⊙ & * & * \\ ⊙ & * & * \\ ⊙ & * & * \end{matrix} |

[D].

| \begin{matrix} ⊙ & ⊙ & ⊙ \\ * & * & * \\ * & * & * \end{matrix} |

答案

$| \begin{matrix} ⊙ & * & * \\ * & ⊙ & * \\ * & * & ⊙ \end{matrix} |$

问题

已知，某行列式只有主对角线下方的元素不全为零（下三角行列式），其他位置的元素全为零：

$| \begin{array}{cccc} a_{11} & 0 & \dots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \dots & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} |$

则，该行列式 $D$ $=$ $?$

选项

[A].

D

=

a_{11}

a_{22}

\dots

a_{n n}

[B].

D

=

\frac{1}{a_{11}}

\frac{1}{a_{22}}

\dots

\frac{1}{a_{n n}}

[C].

D

=

\frac{1}{n}

a_{11}

a_{22}

\dots

a_{n n}

[D].

D

=

a_{11}

+

a_{22}

+

\dots

+

a_{n n}

答案

$| \begin{array}{cccc} a_{11} & 0 & \dots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \dots & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array} |$ $=$ $a_{11}$ $a_{22}$ $\dots$ $a_{n n}$

上三角行列式计算公式（C004）

问题

已知，某行列式只有主对角线上方的元素不全为零（上三角行列式），其他位置的元素全为零：

$| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ 0 & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & \dots & a_{n n} \end{array} |$

则，该行列式 $D$ $=$ $?$

选项

[A].

D

=

\frac{1}{a_{11}}

\frac{1}{a_{22}}

\dots

\frac{1}{a_{n n}}

[B].

D

=

\frac{1}{n}

a_{11}

a_{22}

\dots

a_{n n}

[C].

D

=

a_{11}

+

a_{22}

+

\dots

+

a_{n n}

[D].

D

=

a_{11}

a_{22}

\dots

a_{n n}

答案

$| \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ 0 & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & \dots & a_{n n} \end{array} |$ $=$ $a_{11}$ $a_{22}$ $\dots$ $a_{n n}$

主对角线行列式计算公式（C004）

问题

已知，某行列式只有主对角线上元素不全为零，其他位置的元素全为零：

$| \begin{array}{cccc} a_{11} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & a_{22} & \dots & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & \dots & a_{n n} \end{array} |$

则，该行列式 $D$ $=$ $?$

选项

[A].

D

=

\frac{1}{2}

a_{11}

a_{22}

\dots

a_{n n}

[B].

D

=

a_{11}

a_{22}

\dots

a_{n n}

[C].

D

=

a_{11}^{2}

a_{22}^{2}

\dots

a_{n n}^{2}

[D].

D

=

a_{11}

+

a_{22}

+

\dots

+

a_{n n}

答案

$| \begin{array}{cccc} a_{11} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & a_{22} & \dots & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & \dots & a_{n n} \end{array} |$ $=$ $a_{11}$ $a_{22}$ $\dots$ $a_{n n}$

行列式的错列展开定理（C003）

问题

已知，行列式中

a_{i j}

表示第

i

行第

j

列的元素，

A_{i j}

表示该元素的代数余子式，

M_{i j}

表示该元素的余子式，

D

表示该行列式的值。

则，如果要使用元素 $a_{i j}$ 和第 $j$ 列（ $i$ $\neq$ $j$ ）展开该行列式，以下哪个选项是正确的？

选项

[A].

a_{1 i}

M_{1 j}

+

a_{2 i}

M_{2 j}

+

\dots

+

a_{n i}

M_{n j}

=

0

[B].

a_{1 i}

A_{1 j}

+

a_{2 i}

A_{2 j}

+

\dots

+

a_{n i}

A_{n j}

=

D

[C].

a_{1 i}

A_{1 j}

+

a_{2 i}

A_{2 j}

+

\dots

+

a_{n i}

A_{n j}

=

1

[D].

a_{1 i}

A_{1 j}

+

a_{2 i}

A_{2 j}

+

\dots

+

a_{n i}

A_{n j}

=

0

答案

行列式某一行或某一列的元素 $a_{i j}$ 分别与另一行或另一列的对应元素的代数余子式的乘积之和等于 0, 即：

$a_{1 i}$ $A_{1 j}$ $+$ $a_{2 i}$ $A_{2 j}$ $+$ $\dots$ $+$ $a_{n i}$ $A_{n j}$ $=$ $0$ .

行列式的错行展开定理（C003）

问题

已知，行列式中

a_{i j}

表示第

i

行第

j

列的元素，

A_{i j}

表示该元素的代数余子式，

M_{i j}

表示该元素的余子式，

D

表示该行列式的值。

则，如果要使用元素 $a_{i j}$ 和第 $j$ 行（ $i$ $\neq$ $j$ ）展开该行列式，以下哪个选项是正确的？

选项

[A].

a_{i 1}

M_{j 1}

+

a_{i 2}

M_{j 2}

+

\dots

+

a_{i n}

M_{j n}

=

0

[B].

a_{i 1}

A_{j 1}

+

a_{i 2}

A_{j 2}

+

\dots

+

a_{i n}

A_{j n}

=

D

[C].

a_{i 1}

A_{j 1}

+

a_{i 2}

A_{j 2}

+

\dots

+

a_{i n}

A_{j n}

=

1

[D].

a_{i 1}

A_{j 1}

+

a_{i 2}

A_{j 2}

+

\dots

+

a_{i n}

A_{j n}

=

0

答案

行列式某一行或某一列的元素 $a_{i j}$ 分别与另一行或另一列的对应元素的代数余子式的乘积之和等于 0, 即：

$a_{i 1}$ $A_{j 1}$ $+$ $a_{i 2}$ $A_{j 2}$ $+$ $\dots$ $+$ $a_{i n}$ $A_{j n}$ $=$ $0$ .

行列式的按列展开定理（C003）

问题

已知，行列式中

a_{i j}

表示第

i

行第

j

列的元素，

A_{i j}

表示该元素的代数余子式，

M_{i j}

表示该元素的余子式。

则，如果要以按列展开的方式计算一个行列式的数值 $D$ ，以下哪个选项是正确的？

选项

[A].

D

=

\frac{a_{1 j}}{A_{1 j}}

+

\frac{a_{2 j}}{A_{2 j}}

+

\dots

+

\frac{a_{n j}}{A_{n j}}

[B].

D

=

a_{1 j}

A_{1 j}

\times

a_{2 j}

A_{2 j}

\times

\dots

\times

a_{n j}

A_{n j}

[C].

D

=

a_{1 j}

M_{1 j}

+

a_{2 j}

M_{2 j}

+

\dots

+

a_{n j}

M_{n j}

[D].

D

=

a_{1 j}

A_{1 j}

+

a_{2 j}

A_{2 j}

+

\dots

+

a_{n j}

A_{n j}

答案

行列式等于它的某一行 (列) 元素与其对应的代数余子式乘积之和。若按第 $j$ 列展开，则有：

$D$ $=$ $a_{1 j}$ $A_{1 j}$ $+$ $a_{2 j}$ $A_{2 j}$ $+$ $\dots$ $+$ $a_{n j}$ $A_{n j}$ .

其中， $i$ $=$ $1$ , $2$ , $\dots$ , $n$ .

行列式的按行展开定理（C003）

问题

已知，行列式中

a_{i j}

表示第

i

行第

j

列的元素，

A_{i j}

表示该元素的代数余子式，

M_{i j}

表示该元素的余子式。

则，如果要以按行展开的方式计算一个行列式的数值 $D$ ，以下哪个选项是正确的？

选项

[A].

D

=

a_{i 1}

A_{i 1}

\times

a_{i 2}

A_{i 2}

\times

\dots

\times

a_{i n}

A_{i n}

[B].

D

=

a_{i 1}

M_{i 1}

+

a_{i 2}

M_{i 2}

+

\dots

+

a_{i n}

M_{i n}

[C].

D

=

a_{i 1}

A_{i 1}

+

a_{i 2}

A_{i 2}

+

\dots

+

a_{i n}

A_{i n}

[D].

D

=

\frac{a_{i 1}}{A_{i 1}}

+

\frac{a_{i 2}}{A_{i 2}}

+

\dots

+

\frac{a_{i n}}{A_{i n}}

答案

行列式等于它的某一行 (列) 元素与其对应的代数余子式乘积之和。若按第 $i$ 行展开，则有：

$D$ $=$ $a_{i 1}$ $A_{i 1}$ $+$ $a_{i 2}$ $A_{i 2}$ $+$ $\dots$ $+$ $a_{i n}$ $A_{i n}$ .

其中， $i$ $=$ $1$ , $2$ , $\dots$ , $n$ .

代数余子式 $A_{i j}$ 与元素 $a_{i j}$ 的位置有关吗（C002）

问题

代数余子式

A_{i j}

与元素

a_{i j}

的位置有关吗？

选项

[A]. 关系不确定

[B]. 有关

[C]. 无关

[D]. 需要看具体情况

答案

无关

代数余子式的定义（C002）

问题

已知，

M_{i j}

是行列式中元素

a_{i j}

的余子式，则，该元素的代数余子式

A_{i j}

=

?

选项

[A].

A_{i j}

=

(- 1)^{i + j + 1}

M_{i j}

[B].

A_{i j}

=

- M_{i j}

[C].

A_{i j}

=

(- 1)^{i - j}

M_{i j}

[D].

A_{i j}

=

(- 1)^{i + j}

M_{i j}

答案

$A_{i j}$ $=$ $(- 1)^{i + j}$ $M_{i j}$

余子式的定义（C002）

问题

已知，有如下行列式：

| \begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix} |

则，在上述行列式，元素 $e$ 对应的余子式是什么？

选项

[A].

[\begin{matrix} e & f \\ h & i \end{matrix}]

[B].

[\begin{matrix} b & c \\ h & i \end{matrix}]

[C].

[\begin{matrix} a & b \\ g & h \end{matrix}]

[D].

[\begin{matrix} a & c \\ g & i \end{matrix}]

答案

$| \begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix} |$ 的余子式：

$[\begin{matrix} a & c \\ g & i \end{matrix}]$

说明：
在 $n$ 阶行列式中，划去元素 $a_{i j}$ 所在的第 $i$ 行和第 $j$ 列，剩下的元素按照原来的位置组成的 $n$ $-$ $1$ 阶行列式，称为 $a_{i j}$ 的余子式，记作 $M_{i j}$ .

交换行列式的两行或两列时的性质（C001）

问题

如果，把一个行列式的某两行或某两列进行交换，则该行列式会表现出来怎样的性质？

选项

[A]. 行列式等于

1

[B]. 行列式等于

0

[C]. 行列式的值不变

[D]. 行列式变号

答案

行列式变号

把行列式某行或某列的 $k$ 倍加至另一行或列时的性质（C001）

问题

如果，把一个行列式的某行或某列的

k

倍加至该行列式的另一行或另一列，则该行列式会表现出来怎样的性质？

选项

[A]. 行列式变号

[B]. 行列式的值不变

[C]. 当

k

>

0

时行列式变号，当

k

<

0

时行列式不变号

[D]. 当

k

<

0

时行列式变号，当

k

>

0

时行列式不变号

答案

行列式的值不变